哈夫曼树与哈夫曼编码、集合

什么是哈夫曼树（Huffman Tree）
eg：将百分制的考试成绩转换为五分制的成绩
if ( score < 60 ) grade = 1;
else if ( score < 70 ) grade = 2;
else if ( score < 80 ) grade = 3;
else if ( score < 90 ) grade = 4;
else grade = 5;
建立判定树，如果考虑到学生成绩的分布概率，我们发现得3分和得4分的同学占了绝大多数的比例，直接用上述判别流程建立判定树 显然效率不够高。
修改判定树：
if ( score < 80 )
{
if ( score < 70 )
if ( score < 60 ) grade = 1 ;
else grade = 2 ;
} else if ( score < 90 ) grade = 4 ;
else grade = 5;
按照这种判别流程建立的判定树 效率得到显著提高。
如何根据结点不同的查找频率 构造更有效的搜索树？

－哈夫曼树的定义

带权路径长度（WPL）：设二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点带有权值（即频率）Wk，从根结点到每个叶子结点的长度为Lk，则每个叶子结点的带权路径长度之和为 WPL＝W1L1+W2L2+ …… ＋Wn＊Ln
目标：将WPL降到最低。最优二叉树或哈夫曼树就是WPL最小的二叉树

－哈夫曼树的构造：

每次把权值最小的两棵二叉树合并，得到的新结点的权值为两棵树的权值的和，再由新结点与剩下的结点中再挑出两个权值最小的树 再次合并，直到最后所有树连接在一起
如何选取两个最小的树？利用堆
typedef struct TreeNode *HuffmanTree ;
struct TreeNode {
int Weight ;
HuffmanTree Left, Right ;
}
HuffmanTree Huffman ( MinHeap H )
{
// 假设 H -> Size 个权值已经存在 H -> Element [ ]-> Weight 里
int i ; HuffmanTree T ;
BuildMinHeap ( H ) ; // 将 H -> Element [ ]按权值调整为最小堆
for ( i = 1 ; i < H -> Size ; i ++ ) { // 做 H -> Size - 1 次合并
T = malloc ( sizeof ( struct TreeNode ) ) ; // 建立新结点
// 从最小堆中删除一个结点 作为新树的左子结点
T -> Left = DeleteMin ( H ) ;
// 从最小堆中删除一个结点 作为新树的右子结点
T -> Right = DeleteMin ( H ) ;
// 计算新权值
T -> Weight = T -> Left -> Weight + T -> Right -> Weight ;
Insert ( H , T ) ; // 将新树插入最小堆
}
T = DeleteMin ( H ) ;
return T ;
}
整体复杂度为 O( N logN )

-哈夫曼树的特点：

没有度为1的结点
n个叶结点的哈夫曼树共有2n－1个结点： n0:叶结点总数，n1:只有一个儿子的结点总数，n2:有两个儿子的结点总数； 可知：n2＝n0－1；
哈夫曼树的任意非叶结点的左右子树交换后仍是哈夫曼树；
对同一组权值，存在不同构的两棵哈夫曼树，不过WPL值是一样的

－哈夫曼编码

给定一段字符串，如何对字符串进行编码，可以使得该字符串的编码存储空间最少？
假设有一段文本 包含58个字符，并且由以下7个字符构成：a，e，i，s，t，空格（sp），换行（nl）；这7个字符出现的次数不同。如何对这7个字符进行编码 使得总编码空间最少？
分析：
（1）用等长ASCII编码：58 x 8＝464位；
（2）用等长3位编码：58 x 3＝174位；（因为只有7个字符，3位编码可编8个字符）
（3）不等长编码：出现频率高的字符用的编码短些，出现频率低的字符则可以编码长些
不等长编码会长生二义性，如a＝1，e＝0，s＝11，t＝10；那么编码1011就会有多种不同意思，因为我们不知道各个编码长度具体是多少。
前缀码（prefix code）：任何字符的编码都不是另一字符编码的前缀，可以无二义地解码
用二叉树进行编码：（1）左右分支：0、1 （2）字符只在叶结点上
只要待编字符在叶结点上，其二叉树编码都不是另一字符编码的前缀
由哈夫曼树构造一棵编码代价最小的树
例：

002WV0d1zy70O2MDV1H55&690.png

－集合的表示：

集合运算：交集、并集、补集、差集，判定一个元素是否属于某一集合
并查集：集合并、查某元素属于什么集合
eg：10台电脑｛1，2，3，…，9，10｝已知下列电脑之间已经实现了连接：1和2、2和4、3和5、4和7、5和8、6和9、6和10，问2和7之间、5和9之间是否是连通的
思路：（1）将10台电脑看成10个集合（2）已知一种连接“x和y”，就将x和y对应的集合合并（3）查询“x和y是否是连通的”就是判别x和y是否属于同一集合；这种思路就是并查集。
并查集问题中集合存储的实现：
可以用树结构表示集合，树的每一个结点代表一个集合元素；双亲表示法：孩子指向双亲
采用数组存储形式：data表示元素的值，Parent表示其父结点的下标，根结点的Parent用－1表示；
数组中每个元素的类型描述为：
typedef struct {
ElementType Data ;
int Parent ; // 每个结点的父结点的下标
} SetType ;

－集合运算

（1）查找某个元素所在的集合（用根结点表示）

int Find ( SetType S [ ], ElementType X )
{ // 在数组 S 中查找值为 X 的元素所属的集合
// MaxSize 是全局变量，为数组 S 的最大长度
int i ;
for ( i = 0 ; i < MaxSize && S [ i ]. Data != X ; i ++ ) ;
if ( i >= MaxSize ) return -1 ; // 未找到X，返回－1
for ( ; S [ i ] . Parent >= 0 ; i = S [ i ] . Parent ) ;
return i ; // 找到X所属集合，返回树根结点在数组S中的下标
}

（2）集合的并运算

分别找到X1和X2两个元素所在集合树的根结点，如果它们不同根 则将其中一个根结点的父结点指针设置成另一个根结点的数组下标。
void Union ( SetType S[ ], ElementType X1 , ElementType X2 )
{
int Root1 , Root2 ;
Root1 = Find ( S , X1 ) ;
Root2 = Find ( S , X2 ) ;
if ( Root != Root2 ) S[ Root2 ] . Parent = Root1 ;
}

这样并集后，树越来越大越来越高，树高了之后Find函数效率会变差，所以尽量把小的集合并到大的集合中去；用负数代表根结点，负数的绝对值为这棵树的元素个数