洛谷 P4822 [BJWC2012]冻结 - 分层图最短路

洛谷 P4822 [BJWC2012]冻结

题目链接:洛谷 P4822 [BJWC2012]冻结

算法标签: 图论最短路

题目

题目描述

“我要成为魔法少女!”
“那么,以灵魂为代价,你希望得到什么?”
“我要将有关魔法和奇迹的一切,封印于卡片之中„„”

在这个愿望被实现以后的世界里,人们享受着魔法卡片(SpellCard,又名符卡)带来的便捷。

现在,不需要立下契约也可以使用魔法了!你还不来试一试?
比如,我们在魔法百科全书(Encyclopedia of Spells)里用“freeze”作为关键字来查询,会有很多有趣的结果。
例如,我们熟知的Cirno,她的冰冻魔法当然会有对应的 SpellCard 了。 当然,更加令人惊讶的是,居然有冻结时间的魔法,Cirno 的冻青蛙比起这些来真是小巫见大巫了。
这说明之前的世界中有很多魔法少女曾许下控制时间的愿望,比如 Akemi Homura、Sakuya Izayoi、„„
当然,在本题中我们并不是要来研究历史的,而是研究魔法的应用。

我们考虑最简单的旅行问题吧: 现在这个大陆上有 N 个城市,M 条双向的道路。城市编号为 1~N,我们在 1 号城市,需要到 N 号城市,怎样才能最快地到达呢?
这不就是最短路问题吗?我们都知道可以用 Dijkstra、Bellman-Ford、Floyd-Warshall等算法来解决。
现在,我们一共有 K 张可以使时间变慢 50%的 SpellCard,也就是说,在通过某条路径时,我们可以选择使用一张卡片,这样,我们通过这一条道路的时间 就可以减少到原先的一半。需要注意的是:

  1. 在一条道路上最多只能使用一张 SpellCard。
  2. 使用一张SpellCard 只在一条道路上起作用。
  3. 你不必使用完所有的 SpellCard。

给定以上的信息,你的任务是:求出在可以使用这不超过 K 张时间减速的 SpellCard 之情形下,从城市1 到城市N最少需要多长时间。

输入格式

第一行包含三个整数:N、M、K。
接下来 M 行,每行包含三个整数:Ai、Bi、Timei,表示存在一条 Ai与 Bi之间的双向道路,在不使用 SpellCard 之前提下,通过它需要 Timei的时间。

输出格式

输出一个整数,表示从1 号城市到 N号城市的最小用时。

输入输出样例

输入 #1

4 4 1 
1 2 4 
4 2 6 
1 3 8 
3 4 8 

输出 #1

7

说明/提示

样例解释:
在不使用 SpellCard 时,最短路为 1à2à4,总时间为 10。现在我们可以使用 1 次 SpellCard,那么我们将通过 2à4 这条道路的时间减半,此时总时间为7。
对于100%的数据:1 ≤ K ≤ N ≤ 50,M ≤ 1000。
1≤ Ai,Bi ≤ N,2 ≤ Timei ≤ 2000。
为保证答案为整数,保证所有的 Timei均为偶数。
所有数据中的无向图保证无自环、重边,且是连通的。

题解:

分层图最短路

大致思路见http://littleseven.top/?p=286

分层图最短路,重点就是按照分层的规则确定数组大小(极其玄学),注意分层图的复杂建图。

AC代码

#include 

using namespace std;

const int N = 2200 * 52;
const int M = 22000 * 52;

int tot, head[N], to[M], nex[M], val[M];
int n, m, k, vis[N], dis[N];

void add(int x, int y, int z)
{
    to[ ++ tot] = y;
    val[tot] = z;
    nex[tot] = head[x];
    head[x] = tot;
}

priority_queue< pair > q;
void dijkstra(int s)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    dis[s] = 0;
    q.push(make_pair(0, s));
    while (!q.empty())
    {
        int x = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[x])
            continue ;
        vis[x] = 1;
        for (int i = head[x]; i; i = nex[i])
        {
            if (dis[to[i]] > dis[x] + val[i])
            {
                dis[to[i]] = dis[x] + val[i];
                q.push(make_pair(-dis[to[i]], to[i]));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
    {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        add(x, y, z);
        add(y, x, z);
        for (int j = 1; j <= k; j ++ )
        {
            add(y + (j - 1) * n, x + j * n, z / 2);
            add(x + (j - 1) * n, y + j * n, z / 2);
            add(x + j * n, y + j * n, z);
            add(y + j * n, x + j * n, z);
        }
    }
    dijkstra(1);
    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
    {
        ans = min(ans, dis[n * i + n]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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