环
环的定义:设R是具有两种运算的非空集合，如果以下条件成立：
i)R对于加法构成一个交换群
ii)R上的乘法有，对于任意的a, b, c\(\in\)R，有(ab)c = a(bc)
iii)对任意的a, b, c\(\in\)R，有(a+b)c = ac + bc，a(b+c) = ab + ac
则称R为一个环
换句话说，如果R对于加法运算满足交换群的定义，对于乘法满足广群的定义，并且满足分配律，则R是一个环。
Notation：
i)如果环的乘法满足交换律，则称R为交换环
ii)如果R中有一个元素e = \(1_R\)对于R上的乘法有\(\forall a\in R, a1_R = 1_R a=a\)，则称R为有单位元环，或者称为含幺环
iii)如果R中存在两个不为零的元素a, b对于R上的乘法满足ab=0，则称R为有零因子环
iv)如果R同时为一个交换环和一个含幺环，但没有零因子，则称R为整环
环的性质
1.对任意的a\(\in\)R，有0a=a0=0
证明.
\(\because\) 0a=(0+0)a=0a+0a
\(\therefore\) 0a=0
同理可得 a0 = 0
2.对任意的a,b\(\in\)R，有(-a)b = a(-b) = -(ab)
证明.
\(\because\) (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
\(\therefore\)(-a)b=a(-b)=-(ab)
3.对任意a,b\(\in\) R，有(-a)(-b)=ab，这实际上就是第二个性质的一个实例
4.对任意的n\(\in\)Z，a,b\(\in\)R，(na)b=a(nb)=n(ab)，即n个a的和乘以b，或者a乘以n个b的和都等于n个ab乘积的和。
5.对任意的\(a_i, b_j\in R\)有
\((\Sigma_{i=1}^n a_i)(\Sigma_{j=1}^m b_j)=\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^m a_i b_j\)
6.设R是一个整环，则R中有消去律成立，即当c$\ne$0，c·a = c·b时，有a=b
理想
定义：设R是一个环，I是R的子环，如果对任意的 r\(\in\)R 和 a\(\in\)I ，都有 ra\(\in\)I ，则称 I 是R的左理想，如果对任意的 r\(\in\)R 和 a\(\in\)I都有ar\(\in\)I，则称 I 是R的右理想。
如果 I 同时是R的左理想和右理想，则称 I 是R的理想。
Notation：{0}和R都是R的理想，叫做R的平凡理想。
环R的非空子集 I 是理想的充要条件：
1.对任意的a, b\(\in\)I，都有a-b\(\in\)I
2.对任意的 r\(\in\)R 和 a\(\in\)I 都有 ra\(\in\)I，ar\(\in\)I
证明.
必要性显然成立
充分性：
由第一个条件可知 I 是 R 的子群
再由第二个条件可知 I 对乘法是封闭的，并且 I 作为R的子集，对乘法是满足分配律的，所以 I 是R子环
同时，I 也满足R理想的条件。
定理：设\(\lbrace A_j\rbrace_{i\in J}\)是R的一族理想，则\(\bigcap_{j\in J}A_j\)也是一个理想
证明.
\(\because A_j\)是理想
\(\therefore \forall a,b\in A_j,a-b\in A_j,\)对于所有的j\(\in\)J
\(\therefore a-b\in\bigcap_{j\in J}A_j\)
对于任意的r\(\in\)R和任意的\(a\in\bigcap_{j\in J} A_j\)，则有a\(\in A_j\)，j\(\in\)J
因为\(A_j\)是R的理想，所以ra\(\in A_j\)，ar\(\in A_j\)，j\(\in\)J
所以\(ra\in\bigcap_{j\in J}A_j\)，\(ar\in\bigcap_{j\in J}A_j\)
所以\(\bigcap_{j\in J}A_j\)也是R的理想
生成理想
定义：设X是环R的一个子集，设\(\lbrace A_j\rbrace_{j\in J}\)是环R中包含X的所有理想，则新的理想\(\bigcap_{j\in J}A_j\)称由X生成的理想，记为(X)。
Notation：
1.X中的元素叫做理想(X)的生成元，如果X={\(a_1,\cdots,a_n\)}，则理想(X)记为(\(a_1,\cdots,a_n\))，称为有限生成的。
2.如果X={a}，则称其生成理想(a)叫做主理想
3.环R叫做主理想环，如果R的所有理想都是主理想
定理：设R是环，则主理想(a)={\(ra+ar'+na+\Sigma_{i=1}^mr_ias_i | r,r',r_i,s_i\in R,m\in N, n\in Z\)}
实例：整环Z是主理想环，且I=(a)的表达式为\(I=(a)=\lbrace sa|s\in Z\rbrace\)
推论：设I=(a)是整环Z中的理想，则整数b\(\in\)I 的充要条件是a | b
商环
定理：设R是一个环，I是R的一个理想，则R/I对于加法运算：(a+I)+(b+I)=(a+b)+I，以及乘法运算：(a+I)(b+I)=(ab)+I构成一个环。
并且当R是一个交换环或者是一个含幺环时，商环R/I也是一个交换环或者含幺环。
证明(非正式).
由商群的定义可知，商环R/I对加法构成一个交换群。
对于乘法：\((a+I)(b+I)=(a+i_1)(b+i_2)=ab+ai_2+i_1b+i_1i_2\)
\(\because\)I是R的一个理想
\(\therefore ai_2\in I, i_1b\in I\)
\(\therefore ai_2+i_1b+i_1i_2\in I\)，即(a+I)(b+I)=(ab)+I
所以可以简单理解为商群中的陪集上的运算都可以直接对应到环中代表元的运算
所以商群也构成环，称为商环
环同态分解定理
环同态的定义：环的同态在群的同态的基础上添加了一个条件：对于G和G'中的乘法，满足f(a\(\cdot\)b)=f(a)\(\cdot\)f(b)
相应的，群同态中的定理也能够对应到环同态中
自然映射：设f是环R到环R'的一个同态，则核ker(f)是R的理想，反过来，如果I是R的理想，则映射，\(s:R\to R/I(a\mapsto a+I)\)是核为I的同态。
其证明过程与群的自然同态相似。
同态分解(由一个同态映射构造一个同构映射)：设f是环R到环R'的同态，则存在唯一的R/ker(f)到群f(R)的同构映射\(f':a+ker(f)\mapsto f(a)\)。
同样的，能够得到一个映射转换关系：\(f=i\cdot f'\cdot s\)，其中s是环R到商环R/ker(f)的自然同态，\(i:c\mapsto c\)是f(R)到R'的恒等映射。即：
\[R\stackrel{s}{\to}R/ker(f)\stackrel{f'}{\to}f(G)\stackrel{i}{\to}G'\stackrel{f}{\leftarrow}G\]