辛几何

定义:

辛几何(symplectic geometry)是数学中微分几何领域的分支领域,是研究辛流形(symplectic manifold)的几何与拓扑性质的学科。

它的起源和物理学中的经典力学关系密切,也与数学中的代数几何,数学物理,几何拓扑等领域有很重要的联系。

不同于微分几何中的另一大分支--黎曼几何,辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何,而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念。这使得辛几何的研究带有很大的整体性。

 

入门书籍:(转自知乎,作者李木子)

一般学习辛几何我们假设应有基本的微分流形知识(包括知道什么是李群李代数),如果还有一些简单的同调知识和黎曼几何(不涉及曲率的部分)知识就更好了。其中后面提到的知识,我个人的感觉是如果你不会的话其实也可以开始看辛几何的。

如果想要看比较适合入门的教材的话,我所知道的一本是da Silva的Lectures on Symplectic Geometry,在辛几何的教材里据说不算很难,而且书也不厚。习题里面会需要知道一些同调,但不会的话也不怎么影响阅读。

如果感觉基础好的话,也可以看McDuff和Salamon的Introduction to Symplectic Topology。这本书的话还是要知道同调论和黎曼几何(至少不涉及曲率的部分)的,否则读起来体验应该会比较糟糕了。从厚度上就能看出内容更多,实际上也更难(不过似乎它的内容也并不严格包含前者)。

如果是要从物理的角度切入辛几何的话,据说可以看Arnold的经典物理的数学方法(有中文版)。不过我没有看过。
除此以外,我所知道的唯一中文教材是辛几何讲义,似乎是Sternberg在清华讲课的讲义。不过我也没有看过。
 

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