数学分析理论基础23：不定式极限

不定式极限

两个无穷小量或无穷大量之比的极限统称为不定式极限

型不定式极限

定理：若函数满足：

1.

2.在点的某空心邻域上两者都可导，且

3.（可为实数也可为或）

则

证明：

补充定义，使得在点处连续

，在区间(或)上应用柯西中值定理

有

即（介于与之间）

当令时，也有

故

注：

1.定理中换成，只要满足相应修正条件2中的邻域也可得同样的结论

2.若仍是型不定式极限，可再次用洛必达法则，即考察是否存在。此时在的某邻域上必须满足条件

型不定式极限

定理：若函数满足：

1.在的某右邻域上两者都可导，且

2.

3.(可为实数，也可为)

则

证明：

设为实数

对满足不等式的每个

有

在上满足柯西中值定理

故使得

由保号性

，使得

当时

故

又

故

由保号性

使得时

故

又

故

由保号性

当时有

即证得

类似可证或的情形

注：

1.定理对于或等情形也有相同结论

2.若满足相应条件，则可再次应用定理

3.若不存在，不能说明不存在

例：设在区间上可导，，证明

证：

故

其他类型不定式极限

不定式极限还有等类型，经过简单变换，一般均可化为型或型的极限

例：设

且已知，试求

解：

数列不定式极限

可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果

例：

解：

先求

取对数后求极限

由归结原则可得

注：不可在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量求导没有意义