层次分析法（AHP）详解

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

• 层次分析法的应用前提：

在选择是否应用层次分析法时，我们需要先考虑一些前提条件；如果我们的需求是满足以下前提条件的，那么我们将可以选择使用层次分析法来解决问题：

• 被决策的目标是受多个指标影响的，而且目标和指标之间能够按层次进行区分排列。

• 同一层的各个指标关系是平等的，各指标相互独立并且不存在明显的相关性。

• 单一指标对最终决策目标的影响，无法通过足够的数据进行量化计算。

• 最底层的指标可以被量化，并能够通过一定的方法进行测量。

• 层次分析法的应用步骤：

       层次分析法主要包含：建立层次结构模型 à构造对比矩阵à对比矩阵一致性验证à计算指标权向量à评价决策方案优劣性等几个步骤。下面将针对每个步骤进行逐一描述：

       1. 建立层次结构模型：

层次结构模型的建立主要依赖具体的决策目标需求是什么。为了方便理解，我们将以APP系统质量的衡量为例介绍层次分析法的模型结构。我们认为一款APP的质量主要有内容的质量和交互的友好度来决定。而内容的质量又将会受到完整性、准确性和及时性的影响；交互的友好度由交互流程的友好度和APP整体信息架构的优良程度来决定，所以APP质量的层次结构模型如下图所示：

       2. 构造对比矩阵：

对比矩阵的构造是指从层次结构模型的第二层开始，对于同一层的每一个指标进行两两比较，并且将比较结果罗列出来就形成了对比矩阵。我们常用的办法是采用九级标度法进行对比矩阵的构造。

九级标度法在层次分析法中用于量化过程，对建立矩阵，进一步求主特征值、特征向量、权重向量、总排序向量起到了重要的作用。心理学研究表明，人们通过感觉思维比较判断两个对象的相对差别是可能的，同时比较时能区别差异的心理学极限为7±2个，通过大量的实验表明九级标度法是可行的。下表为九级标度法的标度表：

基于九级标度法我们可以对具体的需求进行对比矩阵的构造，这里以APP质量的内容质量为例进行对比矩阵的展示（备注：在实际的案例中，对比矩阵的数据主要是通过专家组或者问卷调研的方法获得，该矩阵中只是为了展示说明进行的举例，数据并不代表真实的业务情况）。

 

       3. 对比矩阵一致性验证：

通过上面的APP内容质量对比矩阵表，我们可以发现这是一个正互反三阶矩阵。因为矩阵中的数据是通过两两比较获得的，所以整个矩阵的数据会存在不一致性。例如上表中“完整性”和“真实性”、“及时性”的比重都是3，那么一次推断“真实性”和“及时性”的比重应该是1（同等重要）。但是在矩阵表中的实际数据是3。由此我们可以看到通过两两比较获得的数据只是反映了两个指标的关系，而不存在推导关系，这样就会导致了整个矩阵存在不一致性。

我们可以通过计算矩阵的最大特征值的方法来衡量一个矩阵的一致性。相关的指标有：一致性指标（CI）、随机一致性指标（RI）、一致性比率（CR，CR=CI / RI）。一般当CR<0.1的时候，我们认为该对比矩阵的一致性是可以被接收的，如果一致性验证不通过，则需要重新构造对比矩阵。（由于一致性的具体计算方法不是本文的阐述重点，大家可以参考相关资料来了解。）

       4. 计算指标权向量：

如果矩阵的一致性满足要求，则可以根据矩阵的最大特征值，进一步计算得到各个指标对应的特征向量，并通过对特征向量进行标准化，来将其转化为权向量（使特征向量中各个分量的加和为1）。每个指标对应的权向量反映了指标对其相应上层指标的影响权重。

       例如：内容质量= 完整性 * 0.3 + 真实性 * 0.4 + 及时性 * 0.3

      5. 评价决策方案优劣性：

在计算得到各指标相对于上层指标的权重之后，我们就可以通过加权平均的方法，将最底层指标的测量结果汇总到目标指标，从而得到目标指标的总分值。我们可以通过该方法来计算不同方案的目标指标总分值，来用于评价各决策方案的优劣性，并最终选择最优方案。

例如：网站质量 =（完整性 * 0.3 + 准确性 * 0.4 + 及时性 * 0.3）* 0.6 +（交互流程 *0.7 + 信息架构 * 0.3）* 0.4