5.4 最小生成树

图的生成树就是，在顶点集，边集中找到一个集合，里面有n个顶点（所有顶点），n-1条边，这个集合能组成一棵树。这便是生成树，而最小生成树是，这个树的边权之和是所有生成树最小的。

实现最小生成树的算法可分为两种，一种是面向顶点，一种是面向边，都是贪心算法。

1. Prim算法（普里姆算法）

面向顶点的算法，基本思路是先让一个顶点加入树，然后不断地把距离树中顶点最近的且未加入树的顶点加入树中。

//lowcost存储着每一个顶点到当前树的最近距离，初始值为，每个顶点到树的第一个点的最短距离
for (i = 1; i < G.numVertexes;i++)
{
    min = INFINITY;
    while(j < G.numVertexes)//找出离树最近且不在树中的顶点
    {
        if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
        {
            min = lowcost[j];
            k = j;
        }
    }

    printf("")//输出新加入树中的顶点k
    lowcost[k] = 0;//顶点k距离树的最短距离设为0，表示k已在树中

    for (j = 1; j < G.numVertexes; j++)
    {
        //遍历所有顶点，如果他们与新加入顶点k的距离比原来lowcost要短，则刷新lowcost
        if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
        {
            lowcost[j] = G.arc[k][j];
        }
    }
}

2. Kruskal算法 （克鲁斯卡尔算法）

面向边的算法，基本思路是不断让最短的边加入及其连接的点加入树中。但是，可能会连入边导致树出现环，所以，最短边加入之前要判断其加入是否会使树变成图。

生成树的本质是一个树状的连通图，而Kruskal算法形成生成树的过程，就是不断添加新的边。

这个过程中，无非出现两种情况

1. 添加新边，树中多添加了一个顶点
2. 添加新边，树中多添加了一个连通图（也就是已经连好的一连串顶点）
   第二种情况可能存在，新添加的顶点所在的连通图，不是新的连通图，而是同一个连通图中的两个点相连形成环，要想办法判断出这种情况。即新添加的边的两个顶点是否存在于同一个连通图中。

//所有的parent都初始化为0

int Find (int *parent, int f)
{
    while (parent[f] > 0)
        f = parent[f];
    return f;
}

//边的数组是以边的长度排序的，所以遍历是从最短边开始的
for (i = 0; i< G.numEdges; i++)
{
    n = Find(parent, edges[i].begin);
    m = Find(parent, edges[i].end);

    if (n != m)
    {
        parent[n] = m;
        printf()//输出新加入的边
    }
}

所生成的连通图的点都以 <1,2>,<2,3><3,4>这样的序列记录起来。
用的是parent数组，parent[1] = 2,parent[2] = 3,parent[3] = 4的方式。

因此edges[i] 所连的两个顶点，如果在同一个连通图内，必然能通过Find()最终找到在连通图序列中排行最后的点。所以此时，m == n。