算法练习(58): 计算量的近似(1.4.5)

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算法(第4版)

知识点

• 近似
• 增长的数量级
• 对数函数的运算法则

题目

1.4.5 给出下面这些量的近似：

---

1.4.5 Give tilde approximations for the following quantities:
a. N + 1
b. 1 + 1/N
c. (1 + 1/N)(1 + 2/N)
d. 2N³ - 15N² + N
e. lg(2N )/lg N
f. lg(N² + 1) / lg N
g. N¹⁰⁰/ 2^N

分析

我们先看一下近似的概念

对数函数的运算法则
1.两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即

2.两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差，即

3一个正数幂的对数，等于幂的底数的对数乘以幂的指数，即

4.若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数，等于被开方数的对数除以根指数，即

然后我们一个个分析
a. N + 1
令g(N) = N + 1，则~f(N) = N,增长的数量级为N
b. 1 + 1/N
令g(N) = 1 + 1/N，则~f(N) = 1,增长的数量级为1
c. (1 + 1/N)(1 + 2/N)
令g(N) = (1 + 1/N)(1 + 2/N) = 1 + 3/N + 2/N²,则~f(N) = 1,增长的数量级为1
d. 2N³ - 15N² + N
令g(N) = 2N³ - 15N² + N ,则~f(N) = 2N³ ,增长的数量级为N³
e. lg(2N )/lg N
令g(N) = lg(2N )/lg N ,则~f(N) = lgN ,增长的数量级为 lgN
f. lg(N² + 1) / lg N
这个有个地方需要注意，跟其他的有点不一样，因为 lg(N² + 1) / lgN > lgN² /lg N== 2，因此~f(N) = 2，增长的数量级为 2
g. N¹⁰⁰/ 2^N
这个也有点小窍门，就是分子分母同时取lg为底的对数，得到g(N) = (100 /( N * lg2))lgN，则~f(N) = lgN /N ，增长的数量级为lgN

答案

a. N + 1
~ N
b. 1 + 1/N
~1
c. (1 + 1/N)(1 + 2/N)
~ 1
d. 2N³ - 15N² + N
~ 2N³
e. lg(2N )/lg N
~ lgN
f. lg(N² + 1) / lg N
~ 2
g. N¹⁰⁰/ 2^N
~ lgN /N

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