生活中，我们可能遇到这样的情况，朋友小明向你借10000元，保证5个月连本带息还给你。假设你手上有如下两套方案：
| 方案1 | 方案2
----|----|---
第一月还款|3350 | 2100
第二月还款|3050 | 2100
第三月还款|2000 | 2100
第四月还款|1000 | 2100
第五月还款|1000 | 2100
总还款|10400 | 10500
如果单看收益/利息的话，毫无疑问应该选择方案2。那是否真的就是方案2更好？或者说如果某个方案更好，它相当于另一个方案好多少，能否量化？回答这个问题就需要用到IRR的知识。
IRR（ internal rate of return）内部收益率，是一种投资的评估方法，也就是找出资产潜在的回报率，其原理是利用内部回报率折现，投资的净现值恰好等于零。其求解公式如下：
其中n代表回合（案例中N=5），Cn代表收益，C0为初始投资金额（为负数，如方案1，C0=-10000，C1=3350...），r就是需要求解的IRR。公式可以看出是一个一元多次方程，我们知道五次及五次以上的代数方程一般不能用根式求解。如果要求解这个方程的根就需要用到超越方程求解方法。
Newton's method
牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
公式如下：
使用牛顿法，我们需要初始一个x0，尽可能贴近要求解的根。这个时候这个方程会收敛(Newton's method只具有局部收敛性)，当达到我们精度要求，就可以得到解。对于我们要解的IRR，应该是位于(-1,1]之间的值，我们的x0也就可以选择这其中的数字进行迭代。
我的实现代码如下：
long double f(long double x)
{
long double out = 0;
for (int i = 0; i <= M; i++) {
if (i == 0) {
out -= c[i] * powl(x, M);
}
else
{
out += c[i] * powl(x, M-i);
}
}
return out;
}
long double derf(long double x)
{
long double out = 0;
for (int i = 0; i < M; i++) {
if (i == 0) {
out -= c[i] * powl(x, M-1) * M;
}
else
{
out += c[i] * powl(x, M-i-1) * (M - 1);
}
}
return out;
}
long double NewtonRaphson(long double factor)
{
long double up = f(factor), down = derf(factor);
return factor - up / down;
}
调用的代码：
long double pre = 1.618;
long double now = NewtonRaphson(pre);
while (fabsl(now-pre) > precision * fabsl(now)) {
if (fabsl(now) < precision) {
break;
}
pre = now;
now = NewtonRaphson(pre);
}
其中precision就是精度，设置的是1e-9，最后如果能找到结果，那么now-1就是IRR。Newton's method可以解决一部分超越方程求根问题，但是某些方程在Newton's method下会呈现不收敛情况，就不能用这种方法。
Bisection method
二分法（英语：Bisection method），是一种方程式的近似值求法，也可以用来求已知范围的超越方程的解。IRR正好就是求解区间(-1,1]的值，所以可以使用Bisection method。
求解流程如下：
若要求已知函数 f(x) = 0 的根 (x 的解)，则:
- 先找出一个区间 [a, b]，使得f(a)与f(b)异号。根据介值定理，这个区间内一定包含着方程式的根。
- 求该区间的中点m=(a+b)/2，并找出 f(m) 的值。
- 若 f(m) 与 f(a) 正负号相同则取 [m, b] 为新的区间, 否则取 [a, m]。
- 重复第2和第3步至理想精确度为止。
我的实现代码如下：
long double f(long double x)
{
long double out = 0;
for (int i = 0; i <= M; i++) {
if (i == 0) {
out -= c[i] * powl(x, M);
}
else
{
out += c[i] * powl(x, M-i);
}
}
return out;
}
long double biSearch()
{
long double left = precision, right = 2;
while (fabsl(right - left) > precision) {
long double mid = (right + left) / 2.0;
long double fmid = f(mid),fleft = f(left);
if (fmid * fleft > 0) {
left = mid;
}
else
{
right = mid;
}
}
return right;
}
这里left初始并没有取0，是为了防止取到IRR=-1而抛弃了其他更有意义的值。
Secant method
在数值分析中，割线法（Secant method）是一个求根算法，该方法用一系列割线的根来近似代替函数f的根。他和牛顿的算法思想相似，但实现方式不同，这种方法同样也有不收敛的情况。
公式如下：
从上式中可以看出，割线法需要两个初始值x0和x1，它们离函数的根越近越好。
我的实现代码如下：
long double f(long double x)
{
long double out = 0;
for (int i = 0; i <= M; i++) {
if (i == 0) {
out -= c[i] * powl(x, M);
}
else
{
out += c[i] * powl(x, M-i);
}
}
return out;
}
long double secant()
{
long double first = precision, second = 2;
while (fabsl(second - first) > precision) {
long double f1 = f(first),f2 = f(second);
long double next = second - f2 * (second - first) / (f2 - f1);
first = second;
second = next;
}
return second;
}
Microsoft Excel中求解IRR的公式就是用的这个算法，Excel中的精度是0.00001%。
Regula Falsi method
这种算法是针对前面Secant Method和Newton Method算法可能出现不收敛情况而提出的，它一定会收敛，并且相对于Bisection Method效率更高。
他的思想是在交换逼近方向的时候用一个系数（这里选2）去调整取值。公式如下（如果系数由1/2变为1，公式就和Secant Method一样）：
与
我的实现代码如下：
long double f(long double x)
{
long double out = 0;
for (int i = 0; i <= M; i++) {
if (i == 0) {
out -= c[i] * powl(x, M);
}
else
{
out += c[i] * powl(x, M-i);
}
}
return out;
}
long double Falsi()
{
long double left = precision, right = 2;
int side = 0;
long double fleft = f(left), fright = f(right);
long double ratio = (fleft*right - fright *left) / (fleft - fright);
while (fabsl(right - left) > precision) {
ratio = (fleft*right - fright *left) / (fleft - fright);
long double fratio = f(ratio);
if (fright * fratio > 0) {
right = ratio;
fright = fratio;
if (side == -1) {
fleft /= 2;
}
side = -1;
}
else if (fleft * fratio > 0)
{
left = ratio;
fleft = fratio;
if (side == 1) {
fright /= 2;
}
side = 1;
}
else
{
break;
}
}
return ratio;
}
现在有了超越方程的解法与IRR的概念，那么对于小明的借款，到底哪种方案对于自己更好呢？
下面看一下两种方案Excel计算结果：
可以看到方案1的IRR＝1.69%，方案2的IRR=1.65%。方案1的虽然总利息少了，但是内部收益率更高。所以对于作为东家的自己来说选择方案1更优。
不仅限于上面的案例，类似的对于房贷还款，银行提供了等额本金与等额本息两种方式。客户往往倾向于等额本金方式，因为还款总利息更少。那么对于银行来说到底哪种方式对于他们来说更优？有了IRR和超越方程知识，我们也可以自己算一下。