大数运算（整数）

简介

我们都知道，计算机中的数据类型是有界限的，大部分的编程语言都仅支持int(-2^23~232-1)类型和long(-2^64~264)类型，少数语言会支持long long类型，但是不管支持的类型范围再大，都还是有界限的一个范围，但很多时候我们的运算会轻易地超过这个数据类型能表示的范围的大小，比如阶乘运算。这个时候我们的算法实现就进入了一个被称为“大数运算”的范畴，我们将使用字符数组来表示一个数，并通过模拟实际运算，来实现任意长度的整数计算。

加法

加法的实现并不难，基本的实现方法就是模拟我们小学时候学习的加法竖式笔算，对每一位数字进行分别相加，然后逐位处理进位，最后得到结果，如下图：

　　我们用两个字符数组分别表示两个加数，然后低位一一相加，然后用一个变量表示进位标识，最后结果也作为一个数组表示。

public static int[] Addition(int[] a, int[] b) {
        int length_a = a.length;
        int length_b = b.length;
        if (length_a < length_b) {  //判断加数的长度是否相等，计算的时候统一把长度较长的加数作为加数a，长度较短的作为加数b，方便后面对多出的高位的处理
            int[] c = a;
            a = b;
            b = c;
        }
        int[] result = new int[length_a + 1];   //创建存放结果的数组，加法中结果的位数最多超过较长加数一位
        for (int i = 0; i < length_a; i++) {
            if (i < length_b) {
                result[i] += a[i] + b[i];   //加起来
                result[i + 1] += result[i] / 10;    //计算进位
                result[i] %= 10;    //计算进位之后该位的数字
            } else {
                result[i] += a[i];
                result[i + 1] += result[i] / 10;
                result[i] %= 10;
            }
        }
        return result;
    }

当然这不是最优的实现方法，可以优化的点还有很多，比如当两个加数位数相同的时候，多出来的高位其实已经不用计算了，不过这里讨论的只是实现的思路而不是刷题，只要还是用同一个思路来做，那其余优化的就是对数字处理和对循环的简化，不是重点。

减法

减法的做法和加法相同，毕竟只是互为逆运算，加法中的进位标识改为计算借位的标识即可，当然还要考虑符号。如下图：

　　减法的思路和加法没有太大的区别，就不细说了。

public static int[] Subtraction(int[] a, int[] b) {
        int length_a = a.length;
        int length_b = b.length;
        if (length_a < length_b) {  //根据两个数的大小，把大的作为被减数，小的作为减数，这里没有考虑符号的显示，但是如果进行了换位操作，显然结果就是负数
            int[] c = a;
            a = b;
            b = c;
        } else if (a[length_a - 1] < b[length_b - 1]) {
            int[] c = a;
            a = b;
            b = c;
        }
        int[] result = new int[length_a];
        for (int i = 0; i < length_a; i++) {    //逐位相减，不足就从上一位借位，也就是前一位减一
            if (i < length_b) {
                result[i] += (a[i] - b[i]);
                if (result[i] < 0) {
                    result[i + 1] -= 1;
                    result[i] += 10;
                }
            } else {
                result[i] += a[i];
                if (result[i] < 0) {
                    result[i + 1] -= 1;
                    result[i] += 10;
                }
            }
        }
        return result;
    }

乘除法的大数运算比加减法复杂一点，先从简单的情况开始列举。

乘法(简单)

这里简单的情况是一个乘数为大数，另一个乘数为数据类型可表示的数字，即没有超过int类型最大范围的数。
　　先看一下乘法竖式的原理（不要吐槽我的图）

　　这是基本的个位数乘法，但是和我们之前学的不同的是，乘法其实只是加法的一种变化，所以竖式计算的时候，乘法其实是可以采用和加法相同的方式计算的，当我们的乘数是两位数甚至多位数的时候，也可以用单位数乘法的竖式计算法

　　还是相同的进位方式，只不过这次的数显然大了很多，其他的计算步骤都是相同的，所以，我们的代码和加法的代码相差不大，仍然是：正常计算→处理进位

    /*
     * 计算出乘数的位数，用于最后确定结果的位数
     */
    public static int CountInt(int n) {
        int count = 0;
        while (n > 1) {
            n /= 10;
            count++;
        }
        return count;
    }

    public static int[] Multiply(int[] a, int b) {
        int length = a.length;
        int[] result = new int[CountInt(b) + length];
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            result[i] += a[i] * b;
            if (result[i] >= 10) {
                result[i + 1] += result[i] / 10;
                result[i] %= 10;
            }
        }
        return result;
    }

乘法(普通)

当两个乘数都是大数的时候，这个时候就不能简单地用上面的方法了，要回到传统的竖式运算，找到其中的规律，虽然以前没有见过，但是只要稍微看一下就知道传统竖式计算中的奥秘了。见下图：
　　把红色看做是数组编号，乘数，被乘数和积都按位对齐，然后稍微编号计算一下，显然，另被乘数为a数组，乘数为b数组，乘积为c数组，则a [ i ] * b [ j ] = c [ i + j ]

　　代码实现如下

    /*
     * 对两个int数组进行运算
     */
    public static int[] Multiply(int[] a, int[] b) {
        int length_a = a.length;    //获取长度确定运算次数
        int length_b = b.length;
        int result[] = new int[length_a + length_b];
        for (int i = 0; i < length_a; i++) {    //乘法中数a第i位与数b第j位的结果放在结果的第i+j位上
            for (int j = 0; j < length_b; j++) {
                result[i + j] += a[i] * b[j];
            }
        }

        /*
         * 对进位进行统一处理
         */
        for (int i = 0; i < length_a + length_b - 1; i++) {
            if (result[i] > 10) {
                result[i + 1] += result[i] / 10;
                result[i] %= 10;
            }
        }

        return result;
    }

除法(简单)

和简单的乘法如出一辙，直接上图：

　　我们可以发现，商的每一位都是上一位减剩的余数乘以10加上当前位的数字，再除以除数，由此就可以开始设计简单的算法