在YouTube团队推荐系统Rank阶段，DNN输出层使用了weighted—LR，这既是这篇论文的一大创新点，也是一大难点。在这里，重新梳理下该算法的思路与推导，并进行推广。
理解
先说下常见的逻辑回归（LR）模型。LR模型假设数据服从伯努利分布，当某件事情发生，认为其概率为p，则当其不发生，概率为1-p。
那么，其几率比（odds）为：
\[ odds = \frac{p}{1-p} \]
几率比（odds）：指一个事件发生的概率与不发生概率的比值。
对其求对数，并将对数几率记为输入特征值的线性表达式,可得
\[ logit(\frac{p}{1-p}) = w^Tx \]
那么有：
\[ Odds = e^{w^Tx} \]
则概率\(p\)可推出为\(logit\)函数的反函数，也就是\(sigmoid\)函数了:
\[ \phi(x) = \frac{1}{1+e^{-w^Tx}} \]
在短视频的CTR预估，一般的，点击发生的概率就是发生点击的视频个数/总共曝光的视频个数，假设发生点击的视频个数为M，总共曝光的视频个数为N，则\(p\)为：
\[ p = \frac{M}{N} \]
可得Odds为：
\[ Odds = \frac{\frac{M}{N}}{\frac{N-M}{N}} = \frac{M/N}{1-M/N} \]
那么，如果我将正样本加上权重\(w_i\)，会发生什么？
正样本权重\(w\)的加入会让正样本发生的几率变成原来的\(w\)倍，也就是说样本\(i\)的Odds变成了下面的式子：
\[ Odds(i) = \frac{w_i * M/N}{1-w_i * M/N} = \frac{w_i p}{1-w_i p} \]
注意：这里\(N\)的物理含有与之前的\(N\)已经不同了，之前代表的是总共曝光的视频个数，这里代表的是总共曝光的视频的权重和，但这并不影响后面的推导。
YouTube推荐中，关键在于正样本权重的选择，它使用了观看时长\(T_i\)作为权重，则由于在视频推荐场景中，用户打开一个视频的概率\(p\)往往是一个很小的值，因此上式可以继续简化：：
\[ Odds(i) = w_i p = t_i p = E(T_i) \]
由于\(p\)就是用户打开视频的概率，\(T_i\)是观看时长，因此\(T_i*p\)就是用户观看某视频的期望时长。这个的好处就是，当进行Serving时，由于我们只关注相对位置，不关注绝对值，我们只需要计算Odds即可，也就是只需要计算$ e^{w^Tx}$，这样就转化成了根据观看某视频的期望时长进行排序。
那为什么不直接预测观看视频的期望时长呢？一个明显的好处就是，分类的问题一般都比回归问题易于求解，且预测准确率更高。另外，这里使用Weighted LR给我们的启示就是：具体算法一定要根据具体业务场景选择，深刻理解业务的通用性和特殊性，往往比技术更重要。
接下来的问题就是训练了，训练Weighted LR一般来说有两种办法：
- 将正样本按照weight做重复sampling，然后输入模型进行训练；
- 在训练的梯度下降过程中，通过改变梯度的weight来得到Weighted LR。
一般采用第二种方法，原因是减少了处理的样本数，减少了读样本时间和更新梯度的次数。
推广
在上面推导的过程中，一个很特殊的业务场景在于在视频推荐场景中，用户打开一个视频的概率\(p\)往往是一个很小的值，所以进行了简化。那么，当我们的业务中，概率\(p\)并不可以忽略，那么我们将如何优化呢？
在之前的场景中，负样本的权重为1，正样本的权重为\(w_i\)，实际上Odds为：
\[ Odds(i) = \frac{\sum_i w_i * M_i/N}{\sum_i Neg_i/N} = \frac{\sum_{i=1}^{N_{pos}} w_i}{\sum_{i=1}^{N_{neg}} 1} = \frac{\sum_{i=1}^{N_{pos}} w_i}{N_{neg}} \]
上面是因为\(p\)概率足够小，也就是\(N_{pos}\)相对\(N_{neg}\)很小，所以上面可以近似为：
\[ \frac{\sum_{i=1}^{N_{pos}} w_i}{N_{neg}} = \frac{\sum_{i=1}^{N_{pos}} w_i}{N_{neg}+N_{pos}} = \frac{\sum_{i=1}^{N_{pos}} w_i}{N} \]
当我们的场景中，概率\(p\)（在推荐中即ctr）达到20%甚至更高，直接忽略近似会boost click，那么我们就要在分母项补上\(N_{pos}\)的值。显然，我们可以在负样本中随机采样\(N_{pos}\)的样本进行填充，即可达到我们的目的。
不得不说，YouTube的这篇推荐系统论文足够经典。每一个小点扩展开来都值得说道和推敲。另外，也说明了在实际落地中，业务理解的重要性。
参考：
揭开YouTube深度推荐系统模型Serving之谜