线性同余方程

线性同余方程

参考:线性同余方程

同余方程\(ax\equiv b(mod c)\)

定理1:

方程\(ax+by=c\)与方程\(ax\equiv c(mod b)\)是等价的,有整数解的充要条件为\(gcd(a,b)|c\)

根据定理1,我们可以先利用扩展欧几里得算法求出\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组解\(x_0\)\(y_0\),然后我们可以将该方程左右同乘一个\(c/gcd(a,b)\),那么就得到了原方程的一组解\(x_0c/gcd(a,b)\)\(y_0c/gcd(a,b)\)

定理2:

\(gcd(a,b)=1\),且\(x_0\)\(y_0\)为方程\(ax+by=c\)的一组解,则该方程的任意解可表示为:\(x=x_0+bt\)\(y=y_0-at\),且对任意整数\(t\)都成立。

最小整数解:\(t=b/gcd(a,b),x=(x mod t+t)mod  t\)

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