BZOJ-1013&洛谷P4035球形空间产生器sphere【SJOI2008】高斯消元|模拟退火

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

0.500 1.500

　　提示：给出两个定义：1、球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为$(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}), (b_{1}, b_{2}, …, b_{n})$，则AB的距离定义为：$dist=\sqrt{(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}$

n维空间确实不太好想，但我们可以先考虑二维空间，二维空间中给我们圆上的两个点，那么我们可以找到此两点连线的中垂线到这两点的距离一样，所以我们还需要第三个点来确定圆心。那么我们设圆心的坐标为$(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})$，其半径设为$r$。那么总共n+1个方程，n+1个未知数。

然后我们来列个方程：$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})^{2}=r^2$，有n+1个方程，解多元方程的话我们会高斯消元，但这是线性的，这个多元元2次方程不是线性的，所以我们只能想法了。

我们将相邻两个式子相减就会得到n个不含r的方程：$\sum_{j=1}^{n}(o_{j}-x_{i,j})^{2}-\sum_{j=1}^{n}(o_{j}-x_{i+1,j})^{2}=0$

整理可得n个不含二次项的方程：$\sum_{j=1}^{n}(o_{j}-x_{i,j})^{2}-(o_{j}-x_{i+1,j})^{2}=\sum_{j=1}^{n}x_{i,j}^{2}-x_{i+1,j}^{2}+2o_{j}x_{i+1,j}-2o_{j}x_{i,j}$其中o表示圆心

移项得$\sum_{j=1}^{n} 2o_{j}x_{i+1,j}-2o_{j}x_{i,j}=\sum_{i=1}^{n}x_{i+1,j}^{2}-x_{i,j}^{2}$，即$o_{j}$的系数为$2(x_{i+1,j}-x_{i,j})$

用线性方程就可以解答了。那么我们可以用高斯消元来解决这题，实际上高斯消元就是把矩阵化成上三角矩阵而已。然后就是一个个减下来

当然这是一种做法，还有一种比较麻烦的做法就是用模拟退火，这个做法之所以比较麻烦就是调参的时候可能会WA掉或者T掉十来发。。。这题在网上似乎也并没有完美用模拟退火A了的解答。

模拟退火的具体讲解：https://www.cnblogs.com/no-true/p/9737193.html

https://blog.csdn.net/daaikuaichuan/article/details/81381875

随机一个点当圆心，然后和每个点比较，求出平均距离

以下是AC代码：

#include 
using namespace std;

const double esp=1e-8;

double g[20][20],mat[20][20];

double pw(double a)
{
    return a*a;
}

int main()
{
    int n;
    scanf ("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n+1; i++)
        for (int j=1; j<=n; j++)
            scanf ("%lf",&g[i][j]);
    double s;
    for (int i=1; i<=n; i++){
        s=0;
        for (int j=1; j<=n; j++){
            mat[i][j]=2*(g[i+1][j]-g[i][j]);
            s+=pw(g[i+1][j])-pw(g[i][j]);
        }
        mat[i][n+1]=s;
    }
    for (int i=1; i<=n; i++){
        int now=i;
        for (int j=i+1; j<=n; j++) 
            if (fabs(mat[j][i])>fabs(mat[now][i])) now=j;
        if (now!=i) 
            swap(mat[now],mat[i]);
        for (int k=i+1; k<=n; k++){
            double p=mat[k][i]/mat[i][i];
            for (int j=i; j<=n+1; j++)
                mat[k][j]-=mat[i][j]*p;
        }    
    }
    for (int i=n; i>=1; i--){
        for (int j=i+1; j<=n; j++)
            mat[i][n+1]-=mat[j][n+1]*mat[i][j];
        mat[i][n+1]/=mat[i][i];
    }
    for (int i=1; i<=n; i++)
        printf("%.3f%c",mat[i][n+1],i==n?'\n':' ');
    return 0;
}

View Code

模拟退火洛谷AC代码：（BZOJ上会T）

#include 
using namespace std;

const double inf=10000;
const double esp=1e-5;
const double lim=0.9999;

double p[20][20],ans[20],f[20],dis[20];

double dist(double *a,double *b,int n)
{
    double sum=0;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        sum+=(a[i]-b[i])*(a[i]-b[i]);
    return sum;
}

int main()
{
    int n;
    scanf ("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n+1; i++)
        for (int j=1; j<=n; j++)
            scanf ("%lf",&p[i][j]);
    for (int i=1; i<=n; i++) ans[i]=0;
    for (double T=inf; T>=esp; T*=lim){
        double avg=0;
        for (int i=1; i<=n+1; i++){
            dis[i]=dist(ans,p[i],n);
            avg+=dis[i];
        }
        avg/=n+1;
        for (int i=1; i<=n; i++) f[i]=0;
        for (int i=1; i<=n+1; i++)
            for (int j=1; j<=n; j++)
                f[j]+=(dis[i]-avg)*(p[i][j]-ans[j])/avg;
        for (int i=1; i<=n; i++)
            ans[i]+=f[i]*T;   
    }
    for (int i=1; i<=n; i++)
        printf("%.3f ",ans[i]);
}

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BZOJ-1013&洛谷P4035球形空间产生器sphere【SJOI2008】高斯消元|模拟退火

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