二分查找，分治算法，动态规划算法，KMP算法，贪心算法，prim算法，Kruskal算法，Dijistra算法，Floyd算法，马踏棋盘算法-------程序员常用的10个算法

1.二分查找算法（非递归）

 

 此篇写的是非递归算法，递归的在之前的查找算法中写过了。

1.1 算法的适用条件

二分查找只适用于从有序的数列中进行查找（比如数字和字母等），将数列排序后在查找。

1.2算法的效率：

时间复杂度为O（log2 n）

 

实例：使用二分查找的非递归形式对数组{1 3 8 10  11 67 100}进行查找

public class BinarySearchNoRecur {

    public static void main(String[] args) {
        //测试
        int[] arr = {1,3, 8, 10, 11, 67, 100};
        int index = binarySearch(arr, 100);
        System.out.println("index=" + index);//
    }
    
    //二分查找的非递归实现
    /**
     * 
     * @param arr 待查找的数组, arr是升序排序
     * @param target 需要查找的数
     * @return 返回对应下标，-1表示没有找到
     */
    public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
        
        int left = 0;
        int right = arr.length - 1;
        while(left <= right) { //说明继续查找
            int mid = (left + right) / 2;
            if(arr[mid] == target) {
                return mid;
            } else if ( arr[mid] > target) {
                right = mid - 1;//需要向左边查找
            } else {
                left = mid + 1; //需要向右边查找
            }
        }
        return -1;
    }

}

 

2.分治算法

2.1 分治算法介绍

1）分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题.....直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的姐即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，入排序算法（快排，归并排序），傅里叶变换（快速傅里叶变换）...

2)分治算法可以求解的一些经典问题

二分搜索， 大整数乘法，棋盘覆盖，合并排序，快速排序，线性时间选择，最接近点对问题 ，循环赛日称表，汉诺塔等问题。

2.2 分治算法的基本步骤

分治算法在每一层递归上都有三个步骤

1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题

2）解决：若干问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解决各个子问题

3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

2.3 分治（Divide-and Conquer(P)）算法设置模式：

 

2.4 分治算法的实践：汉诺塔（有ABC 三个塔）

 

2.5 思路：

1）如果是一个盘，A->C

   如果我们有n>=2个盘，我们总是可以看做是两个盘：1.最下面的盘 2.上面的盘

  （1）先把最上面的盘A->B

    (2) 把下面的一个盘A->C

    (3)把B塔的所有盘从B->C

2.6 代码实现：

public class Hanoitower {

    public static void main(String[] args) {
        hanoiTower(10, 'A', 'B', 'C');
    }
    
    //汉诺塔的移动的方法
    //使用分治算法
    
    public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {
        //如果只有一个盘
        if(num == 1) {
            System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c);
        } else {
            //如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘
            //1. 先把 最上面的所有盘 A->B， 移动过程会使用到 c
            hanoiTower(num - 1, a, c, b);
            //2. 把最下边的盘 A->C
            System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c);
            //3. 把B塔的所有盘 从 B->C , 移动过程使用到 a塔  
            hanoiTower(num - 1, b, a, c);
            
        }
    }

}

 

3.动态规划算法

应用场景-背包问题

3.1 动态规划算法介绍：

1）动态规划算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2）动态规划算法与分治算法类似，其思想也是将待求问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3）与分治法不同的是，适合于动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上进行进一步的求解）

4）动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

 

3.2 完全背包与01背包

完全背包指的是：每种物品都有无线件可以使用；01背包只能每件物品取一个。

3.3 思路与图解：

3.4 代码实现：

public class KnapsackProblem {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
        int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
        int m = 4; //背包的容量
        int n = val.length; //物品的个数
        
        
        
        //创建二维数组，
        //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];
        
        //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
        for(int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
        }
        for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0; //将第一行设置0
        }
        
        
        //根据前面得到公式来动态规划处理
        for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
            for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
                //公式
                if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                } else {
                    //说明:
                    //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
                    //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                    //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
                    if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                    
                }
            }
        }
        
        //输出一下v 看看目前的情况
        for(int i =0; i < v.length;i++) {
            for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        
        System.out.println("============================");
        //输出最后我们是放入的哪些商品
        //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
//        for(int i = 0; i < path.length; i++) {
//            for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
//                if(path[i][j] == 1) {
//                    System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
//                }
//            }
//        }
        
        //动脑筋
        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
        while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
            if(path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); 
                j -= w[i-1]; //w[i-1]
            }
            i--;
        }
        
    }

}

 

4.KMP算法

4.1 暴力匹配算法：

4.1.1 代码实现

public class ViolenceMatch {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        //测试暴力匹配算法
        String str1 = "硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好";
        String str2 = "尚硅谷你尚硅你~";
        int index = violenceMatch(str1, str2);
        System.out.println("index=" + index);

    }

    // 暴力匹配算法实现
    public static int violenceMatch(String str1, String str2) {
        char[] s1 = str1.toCharArray();
        char[] s2 = str2.toCharArray();

        int s1Len = s1.length;
        int s2Len = s2.length;

        int i = 0; // i索引指向s1
        int j = 0; // j索引指向s2
        while (i < s1Len && j < s2Len) {// 保证匹配时，不越界

            if(s1[i] == s2[j]) {//匹配ok
                i++;
                j++;
            } else { //没有匹配成功
                //如果失配（即str1[i]! = str2[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0。
                i = i - (j - 1);
                j = 0;
            }
        }
        
        //判断是否匹配成功
        if(j == s2Len) {
            return i - j;
        } else {
            return -1;
        }
    }

}

4.2 kmp算法

4.2.1 KMP算法介绍：

1）KMP算法是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，最早出现的位置的经典算法。

2）Knuth-Morrirs-Pratt字符串查找算法，简称为“KMP算法”，常用于在一个文本串S内查找一个模式串P的出现位置，这个算法有Donald Knuth,Vaughan Pratt,James H.Morris三人于1977年联合发表，故取这三个人名命名此算法。

3）KMP算法就是利用之前判断过信息，通过一个next数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过next数组找到，前面匹配过的位置，省去了大量的计算时间

4）参考资料：https://blog.csdn.net/woshidenghaitao/article/details/89439921

4.2.2 KMP算法的应用

 

4.2.3 思路与图解分析：

举例来说，有一个字符串 Str1 = “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，判断，里面是否包含另一个字符串 Str2 = “ABCDABD”？

1.首先，用Str1的第一个字符和Str2的第一个字符去比较，不符合，关键词向后移动一位

 

 2.重复第一步，还是不符合，再后移

 

 3.一直重复，直到Str1有一个字符与Str2的第一个字符符合为止

 

 4.接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是符合。

 

 

5.遇到Str1有一个字符与Str2对应的字符不符合。

 

6.这时候，想到的是继续遍历Str1的下一个字符，重复第1步。(其实是很不明智的，因为此时BCD已经比较过了，没有必要再做重复的工作，一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP 算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。)

 

7.怎么做到把刚刚重复的步骤省略掉？可以对Str2计算出一张《部分匹配表》，这张表的产生在后面介绍

 

8.已知空格与D不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值

因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动 4 位。

 

9.因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值”为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移 2 位。

  

10.因为空格与A不匹配，继续后移一位。

 

11.逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动 4 位。

 

12.逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动 7 位，这里就不再重复了。

 

13.介绍《部分匹配表》怎么产生的

先介绍前缀，后缀是什么

 

“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，

－”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；

－”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；

－”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；

－”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；

－”ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；

－”ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为2；

－”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

 

14.”部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动 4 位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

 

到此KMP算法思想分析完毕!

 

4.2.4 代码实现：

   关键是创建部分匹配表，当匹配出现不相等时不要回到原来的后一位，而是回到部分匹配表的后一位（匹配表字符中前一位和后一位相同时，部分匹配表加1）

  charAt() 方法用于返回指定索引处的字符。索引范围为从 0 到 length() - 1。

难点：部分匹配表没有匹配到时：

 while(j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) {
                j = next[j-1];
            }

import java.util.Arrays;

public class KMPAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";
        String str2 = "ABCDABD";
        //String str2 = "BBC";
        
        int[] next = kmpNext("ABCDABD"); //[0, 1, 2, 0]
        System.out.println("next=" + Arrays.toString(next));
        
        int index = kmpSearch(str1, str2, next);
        System.out.println("index=" + index); // 15了
        
        
    }
    
    //写出我们的kmp搜索算法
    /**
     * 
     * @param str1 源字符串
     * @param str2 子串
     * @param next 部分匹配表, 是子串对应的部分匹配表
     * @return 如果是-1就是没有匹配到，否则返回第一个匹配的位置
     */
    public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) {
        
        //遍历 
        for(int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) {
            
            //需要处理 str1.charAt(i) ！= str2.charAt(j), 去调整j的大小
            //KMP算法核心点, 可以验证...
            while( j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) {
                j = next[j-1]; 
            }
            
            if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {
                j++;
            }            
            if(j == str2.length()) {//找到了 // j = 3 i 
                return i - j + 1;
            }
        }
        return  -1;
    }

    //获取到一个字符串(子串) 的部分匹配值表
    public static  int[] kmpNext(String dest) {
        //创建一个next 数组保存部分匹配值
        int[] next = new int[dest.length()];
        next[0] = 0; //如果字符串是长度为1 部分匹配值就是0
        for(int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) {
            //当dest.charAt(i) != dest.charAt(j) ，我们需要从next[j-1]获取新的j
            //直到我们发现 有  dest.charAt(i) == dest.charAt(j)成立才退出
            //这时kmp算法的核心点
            while(j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) {
                j = next[j-1];
            }
            
            //当dest.charAt(i) == dest.charAt(j) 满足时，部分匹配值就是+1
            if(dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) {
                j++;
            }
            next[i] = j;
        }
        return next;
    }
}

 

5.贪心算法

5.1 贪心算法介绍

1）贪心算法是指对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优（即最有利）的选择，从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法

2）贪心算法得到的结果不一定是最优的结果（有时候是最优解），但是都是相对近似（接近）最优解的结果

5.2 实践

5. 3思路分析

使用贪心算法可以快速计算准备的值，使用贪心算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖地区全部地区的最小集合：

1）遍历所有的广播电台，找到一个覆盖了最多的地区的电台（此电台可能包含一些已经覆盖的电台）

2）将这些电台加入到一个集合中，想方法吧该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。

3）重复第一步直到覆盖了全部地区

5.4图解

5.5 代码实现：

package com.atguigu.greedy;

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;

public class GreedyAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        //创建广播电台,放入到Map
        HashMap> broadcasts = new HashMap>();
        //将各个电台放入到broadcasts
        HashSet hashSet1 = new HashSet();
        hashSet1.add("北京");
        hashSet1.add("上海");
        hashSet1.add("天津");
        
        HashSet hashSet2 = new HashSet();
        hashSet2.add("广州");
        hashSet2.add("北京");
        hashSet2.add("深圳");
        
        HashSet hashSet3 = new HashSet();
        hashSet3.add("成都");
        hashSet3.add("上海");
        hashSet3.add("杭州");
        
        
        HashSet hashSet4 = new HashSet();
        hashSet4.add("上海");
        hashSet4.add("天津");
        
        HashSet hashSet5 = new HashSet();
        hashSet5.add("杭州");
        hashSet5.add("大连");
    
        //加入到map
        broadcasts.put("K1", hashSet1);
        broadcasts.put("K2", hashSet2);
        broadcasts.put("K3", hashSet3);
        broadcasts.put("K4", hashSet4);
        broadcasts.put("K5", hashSet5);
        
        //allAreas 存放所有的地区
        HashSet allAreas = new HashSet();
        allAreas.add("北京");
        allAreas.add("上海");
        allAreas.add("天津");
        allAreas.add("广州");
        allAreas.add("深圳");
        allAreas.add("成都");
        allAreas.add("杭州");
        allAreas.add("大连");
        
        //创建ArrayList, 存放选择的电台集合
        ArrayList selects = new ArrayList();
        
        //定义一个临时的集合， 在遍历的过程中，存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集
        HashSet tempSet = new HashSet();
        
        //定义给maxKey ， 保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key
        //如果maxKey 不为null , 则会加入到 selects
        String maxKey = null;
        while(allAreas.size() != 0) { // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区
            //每进行一次while,需要
            maxKey = null;
            
            //遍历 broadcasts, 取出对应key
            for(String key : broadcasts.keySet()) {
                //每进行一次for
                tempSet.clear();
                //当前这个key能够覆盖的地区
                HashSet areas = broadcasts.get(key);
                tempSet.addAll(areas);
                //求出tempSet 和   allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSet
                tempSet.retainAll(allAreas);
                //如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量，比maxKey指向的集合地区还多
                //就需要重置maxKey
                // tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size()) 体现出贪心算法的特点,每次都选择最优的
                if(tempSet.size() > 0 && 
                        (maxKey == null || tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size())){
                    maxKey = key;
                }
            }
            //maxKey != null, 就应该将maxKey 加入selects
            if(maxKey != null) {
                selects.add(maxKey);
                //将maxKey指向的广播电台覆盖的地区，从 allAreas 去掉
                allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));
            }
            
        }
        
        System.out.println("得到的选择结果是" + selects);//[K1,K2,K3,K5]
        
        
        
    }

}

 

 6.普里姆算法（prim）

6.1 算法的实例

 

 

6.2 算法介绍

 

6.3 图解：

6.4 代码实现：

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        //测试看看图是否创建ok
        char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
        int verxs = data.length;
        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
        int [][]weight=new int[][]{
            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
            {2,3,10000,10000,4,6,10000},};
            
        //创建MGraph对象
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        //创建一个MinTree对象
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        //输出
        minTree.showGraph(graph);
        //测试普利姆算法
        minTree.prim(graph, 1);// 
    }

}

//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
    //创建图的邻接矩阵
    /**
     * 
     * @param graph 图对象
     * @param verxs 图对应的顶点个数
     * @param data 图的各个顶点的值
     * @param weight 图的邻接矩阵
     */
    public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
        int i, j;
        for(i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
            graph.data[i] = data[i];
            for(j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }
    
    //显示图的邻接矩阵
    public void showGraph(MGraph graph) {
        for(int[] link: graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
    
    //编写prim算法，得到最小生成树
    /**
     * 
     * @param graph 图
     * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
     */
    public void prim(MGraph graph, int v) {
        //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
        int visited[] = new int[graph.verxs];
        //visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
//        for(int i =0; i //            visited[i] = 0;
//        }
        
        //把当前这个结点标记为已访问
        visited[v] = 1;
        //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
        for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边
            
            //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
            for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i结点表示被访问过的结点
                for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
                    if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        //替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }
            //找到一条边是最小
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
            //将当前这个结点标记为已经访问
            visited[h2] = 1;
            //minWeight 重新设置为最大值 10000
            minWeight = 10000;
        }
        
    }
}

class MGraph {
    int verxs; //表示图的节点个数
    char[] data;//存放结点数据
    int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
    
    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        data = new char[verxs];
        weight = new int[verxs][verxs];
    }
}

 

7.克鲁斯卡尔算法

7.1 算法实例：

7.2 算法介绍

1）克鲁斯卡尔（Kruskal）算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

2）基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路

3）具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

7.3 图解

第1步：将边加入R中。 
    边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第2步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第3步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第4步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。 
第5步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第6步：将边加入R中。 
    上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： 。

 

克鲁斯卡尔算法分析

 

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题： 
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。 
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

 

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

 

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

 

如何判断是否构成回路-举例说明(如图)

 

在将 加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。 
(02) D的终点是F。 
(03) E的终点是F。 
(04) F的终点是F。

 

关于终点的说明：

1) 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路

 

7.4 代码实现：

import java.util.Arrays;

public class KruskalCase {

    private int edgeNum; //边的个数
    private char[] vertexs; //顶点数组
    private int[][] matrix; //邻接矩阵
    //使用 INF 表示两个顶点不能连通
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    
    public static void main(String[] args) {
        char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵  
          int matrix[][] = {
          /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
    /*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
    /*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
    /*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
    /*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
    /*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
    /*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
    /*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}}; 
          //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.
          
          //创建KruskalCase 对象实例
          KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
          //输出构建的
          kruskalCase.print();
          kruskalCase.kruskal();
          
    }
    
    //构造器
    public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
        //初始化顶点数和边的个数
        int vlen = vertexs.length;
        
        //初始化顶点, 复制拷贝的方式
        this.vertexs = new char[vlen];
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            this.vertexs[i] = vertexs[i];
        }
        
        //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
        this.matrix = new int[vlen][vlen];
        for(int i = 0; i < vlen; i++) {
            for(int j= 0; j < vlen; j++) {
                this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
            }
        }
        //统计边的条数
        for(int i =0; i < vlen; i++) {
            for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
                if(this.matrix[i][j] != INF) {
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
        
    }
    public void kruskal() {
        int index = 0; //表示最后结果数组的索引
        int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
        //创建结果数组, 保存最后的最小生成树
        EData[] rets = new EData[edgeNum];
        
        //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
        EData[] edges = getEdges();
        System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
        
        //按照边的权值大小进行排序(从小到大)
        sortEdges(edges);
        
        //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
        for(int i=0; i < edgeNum; i++) {
            //获取到第i条边的第一个顶点(起点)
            int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
            //获取到第i条边的第2个顶点
            int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
            
            //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
            int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
            //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
            int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
            //是否构成回路
            if(m != n) { //没有构成回路
                ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点  [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
                rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
            }
        }
        //     。
        //统计并打印 "最小生成树", 输出  rets
        System.out.println("最小生成树为");
        for(int i = 0; i < index; i++) {
            System.out.println(rets[i]);
        }
        
        
    }
    
    //打印邻接矩阵
    public void print() {
        System.out.println("邻接矩阵为: \n");
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {
                System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();//换行
        }
    }

    /**
     * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序
     * @param edges 边的集合
     */
    private void sortEdges(EData[] edges) {
        for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
            for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
                if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换
                    EData tmp = edges[j];
                    edges[j] = edges[j+1];
                    edges[j+1] = tmp;
                }
            }
         }
    }
    /**
     * 
     * @param ch 顶点的值，比如'A','B'
     * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
     */
    private int getPosition(char ch) {
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            if(vertexs[i] == ch) {//找到
                return i;
            }
        }
        //找不到,返回-1
        return -1;
    }
    /**
     * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组
     * 是通过matrix 邻接矩阵来获取
     * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
     * @return
     */
    private EData[] getEdges() {
        int index = 0;
        EData[] edges = new EData[edgeNum];
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for(int j=i+1; j ) {
                if(matrix[i][j] != INF) {
                    edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        return edges;
    }
    /**
     * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
     * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
     * @param i : 表示传入的顶点对应的下标
     * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
     */
    private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
        while(ends[i] != 0) {
            i = ends[i];
        }
        return i;
    }
 
}

//创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
class EData {
    char start; //边的一个点
    char end; //边的另外一个点
    int weight; //边的权值
    //构造器
    public EData(char start, char end, int weight) {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }
    //重写toString, 便于输出边信息
    @Override
    public String toString() {
        return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
    }
    
    
}

 

 8.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

8.1算法实例

 

 

8.2 算法介绍

迪杰斯特拉算法是典型的最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层层扩展（广度优先思想），直到拓展到终点为止。

8.3 图解

 

8.4 代码实现：

import java.util.Arrays;

public class DijkstraAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
        //邻接矩阵
        int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
        final int N = 65535;// 表示不可以连接
        matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2};  
        matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3};  
        matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N};  
        matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N};  
        matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4};  
        matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6};  
        matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N};
        //创建 Graph对象
        Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
        //测试, 看看图的邻接矩阵是否ok
        graph.showGraph();
        //测试迪杰斯特拉算法
        graph.dsj(2);//C
        graph.showDijkstra();
        
        
    }

}

class Graph {
    private char[] vertex; // 顶点数组
    private int[][] matrix; // 邻接矩阵
    private VisitedVertex vv; //已经访问的顶点的集合

    // 构造器
    public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
        this.vertex = vertex;
        this.matrix = matrix;
    }
    
    //显示结果
    public void showDijkstra() {
        vv.show();
    }

    // 显示图
    public void showGraph() {
        for (int[] link : matrix) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
    
    //迪杰斯特拉算法实现
    /**
     * 
     * @param index 表示出发顶点对应的下标
     */
    public void dsj(int index) {
        vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
        update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
        for(int j = 1; j ) {
            index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点
            update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
        } 
    }
    
    
    
    //更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点,
    private void update(int index) {
        int len = 0;
        //根据遍历我们的邻接矩阵的  matrix[index]行
        for(int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
            // len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和 
            len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
            // 如果j顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新
            if(!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) {
                vv.updatePre(j, index); //更新j顶点的前驱为index顶点
                vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点到j顶点的距离
            }
        }
    }
}

// 已访问顶点集合
class VisitedVertex {
    // 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新
    public int[] already_arr;
    // 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
    public int[] pre_visited;
    // 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dis
    public int[] dis;
    
    //构造器
    /**
     * 
     * @param length :表示顶点的个数 
     * @param index: 出发顶点对应的下标, 比如G顶点，下标就是6
     */
    public VisitedVertex(int length, int index) {
        this.already_arr = new int[length];
        this.pre_visited = new int[length];
        this.dis = new int[length];
        //初始化 dis数组
        Arrays.fill(dis, 65535);
        this.already_arr[index] = 1; //设置出发顶点被访问过
        this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为0
                
    }
    /**
     * 功能: 判断index顶点是否被访问过
     * @param index
     * @return 如果访问过，就返回true, 否则访问false
     */
    public boolean in(int index) {
        return already_arr[index] == 1;
    }
    
    /**
     * 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离
     * @param index
     * @param len
     */
    public void updateDis(int index, int len) {
        dis[index] = len;
    }
    /**
     * 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点
     * @param pre
     * @param index
     */
    public void updatePre(int pre, int index) {
        pre_visited[pre] = index;
    }
    /**
     * 功能:返回出发顶点到index顶点的距离
     * @param index
     */
    public int getDis(int index) {
        return dis[index];
    }
    
    
    /**
     * 继续选择并返回新的访问顶点， 比如这里的G 完后，就是 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)
     * @return
     */
    public int updateArr() {
        int min = 65535, index = 0;
        for(int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
            if(already_arr[i] == 0 && dis[i] < min ) {
                min = dis[i];
                index = i;
            }
        }
        //更新 index 顶点被访问过
        already_arr[index] = 1;
        return index;
    }
    
    //显示最后的结果
    //即将三个数组的情况输出
    public void show() {
        
        System.out.println("==========================");
        //输出already_arr
        for(int i : already_arr) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();
        //输出pre_visited
        for(int i : pre_visited) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();
        //输出dis
        for(int i : dis) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();
        //为了好看最后的最短距离，我们处理
        char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
        int count = 0;
        for (int i : dis) {
            if (i != 65535) {
                System.out.print(vertex[count] + "("+i+") ");
            } else {
                System.out.println("N ");
            }
            count++;
        }
        System.out.println();
        
    }

}

9 弗洛伊德（Floyd）算法

9.1算法介绍：

9.2 算法分析与图解

1）设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik 顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj，顶点vidaovj的路径为Lij，则vi到vj的最短路径为： min((Lik+Lkj),Lij),vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径

2）至于vi到vj的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得

 

 

9.3 代码实现：

package com.atguigu.floyd;

import java.util.Arrays;

public class FloydAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        // 测试看看图是否创建成功
        char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
        //创建邻接矩阵
        int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
        final int N = 65535;
        matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };
        matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };
        matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };
        matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };
        matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };
        matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };
        matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };
        
        //创建 Graph 对象
        Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
        //调用弗洛伊德算法
        graph.floyd();
        graph.show();
    }

}

// 创建图
class Graph {
    private char[] vertex; // 存放顶点的数组
    private int[][] dis; // 保存，从各个顶点出发到其它顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组
    private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点

    // 构造器
    /**
     * 
     * @param length
     *            大小
     * @param matrix
     *            邻接矩阵
     * @param vertex
     *            顶点数组
     */
    public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
        this.vertex = vertex;
        this.dis = matrix;
        this.pre = new int[length][length];
        // 对pre数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            Arrays.fill(pre[i], i);
        }
    }

    // 显示pre数组和dis数组
    public void show() {

        //为了显示便于阅读，我们优化一下输出
        char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
        for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
            // 先将pre数组输出的一行
            for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
            }
            System.out.println();
            // 输出dis数组的一行数据
            for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                System.out.print("("+vertex[k]+"到"+vertex[i]+"的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");
            }
            System.out.println();
            System.out.println();

        }

    }
    
    //弗洛伊德算法, 比较容易理解，而且容易实现
    public void floyd() {
        int len = 0; //变量保存距离
        //对中间顶点遍历， k 就是中间顶点的下标 [A, B, C, D, E, F, G] 
        for(int k = 0; k < dis.length; k++) { // 
            //从i顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G]
            for(int i = 0; i < dis.length; i++) {
                //到达j顶点 // [A, B, C, D, E, F, G]
                for(int j = 0; j < dis.length; j++) {
                    len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出从i 顶点出发，经过 k中间顶点，到达 j 顶点距离
                    if(len < dis[i][j]) {//如果len小于 dis[i][j]
                        dis[i][j] = len;//更新距离
                        pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驱顶点
                    }
                }
            }
        }
    }
}

 

10. 马踏棋盘算法

 

 

第一种实现算法：

使用贪心算法对上一步算法进行优化：

10.2 代码实现：

package com.atguigu.horse;

import java.awt.Point;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Comparator;

public class HorseChessboard {

    private static int X; // 棋盘的列数
    private static int Y; // 棋盘的行数
    //创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问过
    private static boolean visited[];
    //使用一个属性，标记是否棋盘的所有位置都被访问
    private static boolean finished; // 如果为true,表示成功
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("骑士周游算法，开始运行~~");
        //测试骑士周游算法是否正确
        X = 8;
        Y = 8;
        int row = 1; //马儿初始位置的行，从1开始编号
        int column = 1; //马儿初始位置的列，从1开始编号
        //创建棋盘
        int[][] chessboard = new int[X][Y];
        visited = new boolean[X * Y];//初始值都是false
        //测试一下耗时
        long start = System.currentTimeMillis();
        traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒");
        
        //输出棋盘的最后情况
        for(int[] rows : chessboard) {
            for(int step: rows) {
                System.out.print(step + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }
    
    /**
     * 完成骑士周游问题的算法
     * @param chessboard 棋盘
     * @param row 马儿当前的位置的行 从0开始 
     * @param column 马儿当前的位置的列  从0开始
     * @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步 
     */
    public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {
        chessboard[row][column] = step;
        //row = 4 X = 8 column = 4 = 4 * 8 + 4 = 36
        visited[row * X + column] = true; //标记该位置已经访问
        //获取当前位置可以走的下一个位置的集合 
        ArrayList ps = next(new Point(column, row));
        //对ps进行排序,排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置的数目，进行非递减排序
        sort(ps);
        //遍历 ps
        while(!ps.isEmpty()) {
            Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
            //判断该点是否已经访问过
            if(!visited[p.y * X + p.x]) {//说明还没有访问过
                traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
            }
        }
        //判断马儿是否完成了任务，使用   step 和应该走的步数比较 ， 
        //如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0
        //说明: step < X * Y  成立的情况有两种
        //1. 棋盘到目前位置,仍然没有走完
        //2. 棋盘处于一个回溯过程
        if(step < X * Y && !finished ) {
            chessboard[row][column] = 0;
            visited[row * X + column] = false;
        } else {
            finished = true;
        }
        
    }
    
    /**
     * 功能： 根据当前位置(Point对象)，计算马儿还能走哪些位置(Point)，并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置
     * @param curPoint
     * @return
     */
    public static ArrayList next(Point curPoint) {
        //创建一个ArrayList
        ArrayList ps = new ArrayList();
        //创建一个Point
        Point p1 = new Point();
        //表示马儿可以走5这个位置
        if((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y -1) >= 0) {
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿可以走6这个位置
        if((p1.x = curPoint.x - 1) >=0 && (p1.y=curPoint.y-2)>=0) {
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿可以走7这个位置
        if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿可以走0这个位置
        if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿可以走1这个位置
        if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿可以走2这个位置
        if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿可以走3这个位置
        if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) {
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿可以走4这个位置
        if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) {
            ps.add(new Point(p1));
        }
        return ps;
    }

    //根据当前这个一步的所有的下一步的选择位置，进行非递减排序, 减少回溯的次数
    public static void sort(ArrayList ps) {
        ps.sort(new Comparator() {

            @Override
            public int compare(Point o1, Point o2) {
                // TODO Auto-generated method stub
                //获取到o1的下一步的所有位置个数
                int count1 = next(o1).size();
                //获取到o2的下一步的所有位置个数
                int count2 = next(o2).size();
                if(count1 < count2) {
                    return -1;
                } else if (count1 == count2) {
                    return 0;
                } else {
                    return 1;
                }
            }
            
        });
    }
}