Laplace定理

余子式和代数余子式的推广

余子式

定义：在一个n级行列式D中任意选定k行k列,位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M,称为行列式D的一个k级子式,当时,在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k级行列式M'称为k级子式M的余子式

注：M也是M'的余子式,M和M'可称为D的一对互余的子式

代数余子式

定义：设D的k级子式M在D中所在的行列指标分别是,,则M的余子式M'前加上符号后称为M的代数余子式

引理：行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D展开式中的一项,且符号一致

证明：

$设D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}&a_{k,k+1}&\cdots&a_{kn}\\ a_{k+1,1}&a_{k+1,2}&\cdots&a_{k+1,k}&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nk}&a_{n,k+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

Laplace定理

定理：设在行列式D中任意取定了k个行,由这k行元素组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D

证明：

注：Laplace定理计算行列式并不方便,这个定理主要在理论方面应用

行列式的乘法规则

定理：给定两个n级行列式

的乘积等于一个n级行列式

,其中是的第i行元素分别与的第j列对应元素乘积之和

证明：

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&0&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&0&0&\cdots&0\\ -1&0&\cdots&0&b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ 0&-1&\cdots&0&b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}$

$\therefore D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}=D_1D_2$

$D=\begin{vmatrix}0&0&\cdots&0&c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&0&0&\cdots&0\\ -1&0&\cdots&0&b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ 0&-1&\cdots&0&b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}$

$D=\begin{vmatrix}0&0&\cdots&0&c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ 0&0&\cdots&0&c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0&c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\\ -1&0&\cdots&0&b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ 0&-1&\cdots&0&b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}$

高等代数理论基础19：Laplace定理

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