矩阵代数（二）- 矩阵的逆

小结

1. 矩阵的逆
2. 求的方法

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矩阵的逆

一个矩阵使可逆的，若存在一个矩阵使且。其中，使单位矩阵。这时称是的逆。实际上，由唯一确定，因为若使另一个的逆，那么将有。于是，若可逆，它的逆是唯一的，我们将它即为，于是。
不可逆矩阵有时称为奇异矩阵，二可逆矩阵也称为非奇异矩阵。

定理4 设。若，则可逆且；若，则不可逆。
证明：设，则有，即有，对应的增广矩阵为
对增广矩阵进行行化简，得：
～
若，则。的第一列为零向量，任何矩阵乘的第一列（零向量）得到的第一列都是零向量。故若可逆，。
若，继续行化简增广矩阵为：。其通解为：，即。
数称为的行列式，即为。

求的逆。
解：因为，所有可逆且

定理5 若是可逆矩阵，则对每一中的，方程有唯一解。

定理6
若是可逆矩阵，则也可逆而且。
若和都是可逆矩阵，则和也可逆，且其逆是和的逆矩阵按相反顺序的乘积，即。
若可逆，则也可逆，且其逆是的转置，即。

推广
若干个可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积。

** 初等矩阵**
把单位矩阵进行一次初等行变换，就得到初等矩阵。
设，计算。
解：
若我们把的第1行的倍加到第3行，可得
若我们把的第1行的倍加到第3行也可得
若对矩阵进行某种初等行变换，所得矩阵可写成，其中是矩阵，是由进行同一行变换所得。

因为行变换是可逆的，故初等矩阵也是可逆的。若是由进行行变换所得，则有同一类型的另一行变换把变回。因此，有初等矩阵使。
每个初等矩阵是可逆的，的逆是一个同类型的初等矩阵，它把变回
求的逆。
解：为把变成，需把第1行的4倍加到第3行。所以的逆就等于的第1行加到第3行，即

定理7 矩阵是可逆的，当且仅当行等价于，这时，把化简为的一系列初等行变换同时把变成

求的算法

把增广矩阵进行行化简，若行等价于，则行等价于，否则不可逆。
求矩阵的逆，若存在。
解：
～
～
～

因为～，由定理7知可逆，且