贝塞尔曲线

有一种动画是跟着一条轨迹走的，又叫曲线动画，曲线有很多种，最著名的是贝塞尔曲线。什么是贝塞尔曲线，最简单的就是你用photoshop的钢笔工具画出来的曲线就是贝塞尔曲线。

曲线的核心定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。

贝塞尔曲线是分阶数的。

一阶贝塞尔曲线：

一阶贝塞尔曲线.gif

公式：

一阶贝塞尔曲线公式.gif

其中：B(t) 为 t 时间下点的坐标；P0 为起点，Pn 为终点，Pi 为控制点。
意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段。

二阶贝塞尔曲线：

二阶贝塞尔曲线.gif

公式：

二阶贝塞尔曲线公式.gif

原理：
1、由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。
2、由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。
3、由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。

看到这里，应该明白贝塞尔曲线是怎么回事了。图中绿色的是曲线的切线。

三阶贝塞尔曲线：

三阶贝塞尔曲线.gif

公式：

三阶贝塞尔曲线公式.gif

高阶贝塞尔曲线：


看图非常的复杂，看公式的推导：
拿二阶的曲线公式来说是这样的：

二阶贝塞尔曲线公式.gif

看起来很复杂，把它拆分开来看：

然后再合并成这样：

最后你可以发现，可以变成这样了：

B0 和 B1分别是 P0 到 P1 和 P1到 P2 的 1 阶贝塞尔曲线。而 2 阶贝塞尔曲线 B 就是 B0 到 B1 的 1 阶贝塞尔曲线。这样理解起来应该比较好理解。

然而还是很复杂，看 n 阶贝塞尔曲线的推导公式：

给定点P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即：

一般公式

例如 n 等于5的时候：

n=5.png

可以用下面的递归表达：
用

表示由点 P0、 P1、…、 Pn所决定的贝塞尔曲线。则

术语
一些关于参数曲线的术语，有

即多项式

又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义0的0次方 = 1。
点Pi称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0
并以Pn终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

因为贝塞尔曲线公式里有时间，而且在高中大学都没学过，所有理解起来比较困难。真是艺术般的曲线。

参考：
http://my.oschina.net/ososchina/blog/677307
http://blog.csdn.net/vrix/article/details/39206975
http://blog.csdn.net/tianjian4592/article/details/47067161
http://www.2cto.com/kf/201503/380377.html
http://blog.csdn.net/androidzhaoxiaogang/article/details/8680330
http://blog.csdn.net/linmiansheng/article/details/18763987