《漫画算法》笔记-上篇

漫画算法-小灰的算法之旅

魏梦舒(@程序员小灰)著

小灰用漫画(可爱的手绘小仓鼠)的形式,给算法这颗“炮弹”包上了“糖衣”,让算法的为力潜藏于内,外表不再吓人,变得萌萌哒,Q弹可爱。

本书通过主人公小灰,用漫画的形式讲述了算法与数据结构的基础知识、复杂多变的算法面试及算法的实际应用。

  • 第一章:讲述什么是算法、数据结构,有什么用。如何计算时间复杂度、空间复杂度。
  • 第二章:讲述基本的数据结构:数组、链表、栈、队列、哈希。
  • 第三章:讲述了树、二叉树相关知识。
  • 第四章:讲述了经典的排序算法:冒泡、快速、堆、计数、桶排序。
  • 第五章:讲述了10多道职场上流行的算法面试题及详细的解题思路。
  • 第六章:讲述了算法在职场上的实际应用。

“学习算法,我们不需要死记硬背那些冗长复杂的背景知识、底层原理、指令语法......需要做的是领悟算法思想、理解算法对内存空间和性能的影响,以及开动脑筋去寻求解决问题的最佳方案。相比编程领域的其他技术,算法更纯粹,更接近数学,也更具有趣味性。” -- 作者说

1. 算法和数据结构

算法

algorithm。始于计算出1+2+3+4...+10000的结果。首先把从1到10000这10000个数字两两分组相加,如下:

1 + 10000 = 10001
2 + 9999 = 10001
3 + 9998 = 10001
......

一共有多少组这样结果相同的和呢?有10000/2即5000组,即结果:(1 + 10000) * 10000 / 2 = 50005000

在数学上称这种等差数列求和的方法为:高斯算法

在数学领域:算法是用于解决一类问题的公式和思想。

在计算机领域:算法本质是一序列程序指令,用于解决特定的运算和逻辑问题。衡量算法好坏的重要标准有两个:

  • 空间复杂度:占用内存空间的大小
  • 时间复杂度:运行时间的长短

应用:运算、查找、排序、寻找最优路线、面试等。

数据结构

数据结构是算法的基石。如果把算法比喻成美丽灵动的舞者,那么数据结构就是舞者脚下广阔而坚实的舞台。

data structure,是数据的组织、管理和存储格式,其使用的目的是为了高效地访问和修改数据。

数据结构组成方式:

  • 线性结构:最简单的数据结构。包括数组、链表,及衍生的栈、队列、哈希表。
  • 树:相对复杂的数据结构,有代表性的是二叉树。
  • 图:更为复杂的数据结构,因为在图中会呈现出多对多的关联关系。

时间复杂度

是对一个算法运行时间长短的量度,用大O表示,记作T(n) = O(f(n))

直白地讲,时间复杂度就是把程序的相对执行时间函数T(n)简化为一个数量级,这个数量级可以是n、n²、n³等。

推导出时间复杂度,有如下几个原则:

  • 如果运行时间是常数量级,则用常数1表示
  • 只保留时间函数中的最高阶项
  • 如果最高阶项存在,则省去最高阶项前面的系数

比如:

执行次数是T(n) = 3n,最高阶项为3n,省去系数3,转化的时间复杂度为T(n) = O(n)

执行次数是T(n) = 5logn,最高阶项为5logn,省去系数5,转化的时间复杂度为T(n) = O(logn)。5logn,数学中的对数。

执行次数是T(n) = 2,只有常数量级,转化的时间复杂度为T(n)=O(1)

执行次数是T(n) = 0.5n² + 0.5n,最高阶项为0.5n²,省去系数0.5,转化的时间复杂度为T(n) = O(n²)

谁更节省时间呢?结论如下:
O(1) < O(logn) < O(n) < O(n²)

空间复杂度

space complexity。是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的度量,用大O表示,记作S(n) = O(f(n))

  • 常量空间:O(1),存储空间大小固定,和输入规模没有直接关系
  • 线性空间:O(n),空间是一个线性的集合(比如数组),并且集合大小和输入规模n成正比
  • 二维空间:O(n²)空间是一个二维数组集合,并且集合的长度和宽度都与输入规模n成正比
  • 递归空间:执行递归操作所需的内存空间和递归的深度成正比。纯粹的递归操作的空间复杂度也是线性的,如果递归的深度是n,那么空间复杂度就是O(n)

2. 数据结构基础

数组

有限个,在内存中顺序存储。

内存是由一个个连续的内存单元组成的,每一个内存单元都有自己的地址。

数组中的每一个元素,都存储在小小的内存单元中,并且元素直接紧密排列,既不能打乱元素的存储顺序,也不能跳过某个存储单元进行存储。

操作:

  • 读取、更新:利用索引,比较容易,直接操作
  • 插入:末尾插入简单,直接在最后插入即可。非末尾插入,由于数组的每一个元素都有其固定下标,所以需要先把插入位置及后面的元素向后移动,挪出地方,再把要插入的元素放到对应的数组位置上。
  • 删除:和插入过程相反,若删除的元素不是位于末尾,其后的元素都要向前移动。

插入、删除的时间复杂度都是O(n)

优势:非常高效的访问能力,只要给出下标,就能找到对应元素。
劣势:插入、删除效率低下。数组元素连续紧密地存储在内存中,插入、删除元素都会导致大量元素被迫移动,影响效率。

数组适合读操作多、写操作少的场景。链表和数组正好相反。

链表

一种在物理上非连续、非顺序的数据结构,由若干节点(node)所组成。

单向链表的每一个节点包含两部分,存放数据的变量data,指向下一个节点的指针next。

链表的第一个节点被称为头结点,最后一个节点被称为尾节点。尾结点的下一个节点指向空。

双向链表,每一个节点除了拥有 data 和 next,还拥有指向前置节点的 prev 指针。

数组在内存中的存储方式是顺序存储,链表 在内存中的存储顺序是随机存储。

数组在内存中占用了连续完整的存储空间,而链表采用了见缝插针的方式,链表的没一个节点分布在内存的不同位置,依靠next指针关联起来。这样可以灵活有效地利用零散的碎片空间。

链表操作:

  • 查找节点:只能从头结点开始向后一个一个节点逐一查找。
  • 更新:查找到了,替换数据就好
  • 插入、删除:分三种情况:尾部、头部、中间,需要处理对应的next指针。具体看书中的图会更直观呢,文字描述太晦涩了。

;链表的插入和删除的时间复杂度:如果不考虑插入、删除操作之前查找元素的过程,只考虑纯粹的插入、删除操作,时间复杂度为O(1)

数组 vs 链表:数组能够利用下标快速定位元素,对于读操作多、写操作少的场景非常使用。而链表的有事在于能灵活的进行插入和删除操作,适用于读操作少、写操作多的场景。

栈和队列

数据存储的物理结构和逻辑结构:

  • 物理结构:物质层面,实实在在的,看得见,摸得着。
    • 顺序存储结构:数组
    • 链式存储结构:链表
  • 逻辑结构:精神层面,抽象的概念,依赖于物理结构而存在。
    • 线性结构:顺序表、栈、队列
    • 非线性结构:树、图

栈:stack。一种线性数据结构,栈中的元素只能先进后出(FILO,First In Last Out)。最早进入的元素存放的位置叫作栈底,最后进入的元素存放的位置叫作栈顶。用数组、链表均可以实现。

栈的基本操作:

  • 入栈:只能从栈顶放入元素,新元素成为新栈顶。
  • 出栈:只能从栈顶弹出元素,出栈元素的前一个元素成为新栈顶。

入栈、出栈的时间复杂度:O(1),因为只会影响到最后一个元素。

队列:queue。一种线性数据结构,队列中的元素只能先进先出(FIFO,First In First Out)。队列的出口端叫作队头(front),队列的入口端叫作队尾(rear)。用数组、链表均可以实现。

队列的基本操作:

  • 入队:enqueue,只能在队尾的位置放入元素,新元素成为新队尾。
  • 出队:dequeue,只能在队头的位置移出元素,出队元素的后一个元素成为新队头。

额外:循环队列、双端队列、优先队列。

散列表

散列表:也称哈希表,hash table。是存储 key-value 映射的集合,时间复杂度接近于O(1)。本质上也是一个数组。

哈希函数:通过某种方式,把 key 和数组下标进行转换的函数。

散列表的读写操作:

  • 写操作(put):在散列表中插入新的键值对。
    • 通过哈希函数,把 key 转换成数组下标。如果数组下标的位置没有元素,就放到该位置,如果该位置有值,这种情况为哈希冲突
    • 解决哈希冲突:开放寻址法和链表法。
  • 读操作(get):通过给定的key,在散列表中查找对应的value。
    • 通过哈希函数,把 key 转换成数组下标,然后根据下标找value.

3.树

tree,是n个节点的有限集。有如下特点:

  • 有且仅有一个特定的称为根的节点。
  • 当n>1时,其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集,每一个集合本身又是一个树,并称为根的子树。

树的最大层级树,被称为树的高度或深度。

相关节点

  • 根节点(root)
  • 叶子节点(leaf):没有孩子的节点
  • 父节点
  • 孩子节点
  • 兄弟节点

二叉树

树的一种特殊形式。树的每个节点最多有2个孩子节点。

二叉树的两个孩子节点,一个被称为左孩子,一个被称为右节点。

二叉树有两种特殊形式:满二叉树、完全二叉树。

满二叉树:一个二叉树的所有非叶子节点都存在左右孩子,并且所有叶子节点都在同一层接上。简言之,满二叉树的每一个分支都是满的。

完全二叉树:对一个有n个节点的二叉树,按层级顺序编号,则所有节点的编号为从1到n。如果这个树所有节点和同样深度的满二叉树的编号为从1到n的节点位置相同,则这个二叉树为满二叉树。

一棵树,若为满二叉树,那么一定是完全二叉树。反之,不一定。

在内存中存储:

  • 链式存储结构:一个节点含数据data,指向左孩子的节点,指向右孩子的节点。
  • 数组:按照层级顺序把二叉树的节点放到数组中对应的位置上。如果某一个节点的孩子为空,则数组的相应位置也空出来。
    • 为什么这么设计?可以更方便的定位孩子节点、父节点。
    • 若父节点的下标是parent,那么左孩子节点下标是2parent+1,右孩子节点下标是2parent+2。
    • 反之,若左孩子节点下标是leftChild,那么父节点下标是(leftChild - 1)/2。
    • 稀疏二叉树,用数组表示会很浪费空间。

二叉树的应用:查找操作、维持相对顺序。

  • 查找:二叉查找树。左子树上所有节点都小于根节点,右子树上所有节点都大于根节点。左右子树也都是二叉查找树。
  • 维持相对顺序:二叉排序树

二叉树的遍历:
从节点之间位置关系的角度:

  • 前序遍历:输出顺序:根节点、左子树、右子树
  • 中序遍历:输出顺序:左子树、根节点、右子树
  • 后序遍历:输出顺序:左子树、右子树、根节点
  • 层序遍历:按照从根节点到叶子节点的层级关系,一层一层横向遍历各个节点。

从更宏观的角度:

  • 深度优先遍历(前、中、后序遍历,前中后是相对根节点)
  • 广度优先遍历(层序遍历)

二叉堆:本质上是一种完全二叉树。

  • 最大堆:任何一个父节点的值,都大于或等于它左、右孩子节点的值。
  • 最小堆:任何一个父节点的值,都小于或等于它左、右孩子节点的值。

二叉堆的根节点,叫作堆顶。最大堆的堆顶是整个堆中最大元素,最小堆的堆顶是整个堆中最小元素。

优先队列:基于二叉堆实现:

  • 最大优先队列:无论入队顺序如何,当前最大元素都会优先出队,基于最大堆实现
  • 最小优先队列:无论出队顺序如何,当前最小元素都会优先出队,基于最小堆实现

观后感:回想起了很多大学学习时的场景与概念(专业:软件工程)

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