算法初步

算法的定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或者是多个操作。

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算法的特性

1.输入输出：算法具有零个或者多个输入，对于绝大多数情况来说，输入参数是很有必要的，担当有些情况仅仅需要我们输出，比如打印一个“hello world”对于这样的需求我们只需要输出就可以了，因此算法至少有一个或者多个输出。

2.有穷性：算法在执行有限的步骤后，会自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤都可以在人们能够接受的时间内完成。

3.确定性：算法的每一个步骤都应当具有确定的含义，不会出现二义性，即算法在一定的条件下，只有一条执行路径，对于相同的输入只能有一个输出结果。

4.可行性：算法的每一步必须是可行的，即算法的每一步都可以通过执行有限次数完成。

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算法设计的要求

1.正确性：算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案。

2.可读性：算法设计出来是为了给人看的，是为了方便解决实际问题，因此需要算法设计便于阅读、理解和交流。

3.健壮性：当输入的数据不合法时，算法也能做出相应的回应而不是产生异常或者是莫名奇妙的结果。

4.时间效率高和存储量低：设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求，在实际生活中，人们都希望花最少的时间办成最大的事情，算法也是这样，最好是利用最少的空间、花费最少的时间来解决问题。

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算法的时间复杂度

算法的时间复杂度即算法的时间量度，记作T(n) = O(f(n))。随着问题规模n的增长，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的函数。

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推倒大O阶的方法

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.在修改的运行次数函数中只保留最高阶项。

3.如果最高阶存在且不为1，则去除与这个项相乘的常数。

常数阶O(1)

与n的大小无关，执行时间恒定的算法，称之具有O(1)阶的时间复杂度又叫作常数阶。

O(1)

线性阶O(n)

当一个循环体需要执行n次的时候，该循环的时间复杂度为O(n)

O(n)

对数阶O(logn)

我们先看一个例子

O(logn)

上面的代码每次count值乘以2，就距离n更近了点，也就是说有多少个2相乘之后便会大于n从而退出循环。由2^x = n 可以得到 x = log2n，即这个循环的时间复杂度为O(logn)。

平方阶O(n^2)

我们先来看一段代码

O(n^2)

不难看出，循环中嵌套着一个循环，每个循环都要执行n次，于是共要执行n * n = n^2次，算法的时间复杂度为O(n^2)。我们可以得出一个结论：

循环的时间复杂度 = 循环体的时间复杂度 * 循环运行的次数

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常见的时间复杂度

O(1)

注：一般后面三种不予以考虑

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练习

求下列代码的时间复杂度

练习

答案是O(n^2)