求f(x)=arcsinx的幂级数展开式

结论：arcsinx=Σ(2n)!/[2^(2n)*(n!)^2*(2n+1)] x^(2n+1)  n=0,1,2,...

收敛区间 (-1,1)

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

先求1/√(1-x^2)的展开式,再逐项积分,由初值确定常数项.

具体计算较繁.

先求得：1/√(1-x^2)=Σ(2n)!/[2^(2n)*(n!)^2] x^(2n) n=0,1,2,.... (**) arcsinx=C+Σ(2n)!/[2^(2n)*(n!)^2*(2n+1)] x^(2n+1) n=0,1,2,... 由x=0时arcsinx=0得C=0. 得解。 该题难在求 (**)