等比矩阵求和

以下内容为转载
用二分方法求等比数列前n项和：

原理：
(1)若n==0

(2)若n%2==0

(3)若n%2==1

那么类比等比数列，对于一个矩阵A，求A+A^1+A2+.....+A^k

采用分治法，若 k是偶数，原式=（A+A^1+.....+A(k/2)）+A^(k/2)*( A+A^1+.....+A(k/2) ) = (A^(k/2)+1)*S(k/2).

若k是奇数，原式=（A+A^1+.....+A(k/2)）+A^(k/2)*( A+A^1+.....+A(k/2) ) + a^k = (A^(k/2)+1)*S(k/2) + A^k.

Matrix Power Series

#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=32;
int mod;
int trie_s;
struct Matrix
{
    int arr[MAXN][MAXN];
    void init()
    {
        memset(arr,0,sizeof(arr));
        for(int i=1;i<=trie_s;i++)
        {
            arr[i][i]=1;
        }
    }
}A,R;
Matrix add(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int j=1;j<=trie_s;j++)
        {
            c.arr[i][j]=a.arr[i][j]+b.arr[i][j];
            if(c.arr[i][j]>=mod) c.arr[i][j]%=mod;
        }
    }
    return c;
}
Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    memset(c.arr,0,sizeof(c.arr));
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int k=1;k<=trie_s;k++)
        {
            if(a.arr[i][k]==0) continue;
            for(int j=1;j<=trie_s;j++)
            {
                c.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j];
                if(c.arr[i][j]>=mod) c.arr[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Matrix pow(Matrix a,int b)
{
    Matrix res;
    res.init();
    while(b)
    {
        if(b&1) res=multi(res,a);
        a=multi(a,a);
        b>>=1;
    }
    return res;
}
Matrix sum(Matrix a,int n)
{
    if(n==1) return a;
    Matrix tmp;
    tmp.init();
    tmp=add(tmp,pow(a,n>>1));
    tmp=multi(tmp,sum(a,n>>1));
    if(n&1) tmp=add(tmp,pow(a,n));
    return tmp;
}
void output()
{
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int j=1;j<=trie_s;j++)
        {
            printf("%d ",A.arr[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d%d%d",&trie_s,&n,&mod);
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int j=1;j<=trie_s;j++)
        scanf("%d",&A.arr[i][j]);
    }
    A=sum(A,n);
    output();
    return 0;
}

还有一种更快的方法，便是构造矩阵。可惜不是我自己想出来的。膜拜，矩阵太强大了。

我们要求的矩阵设为A，先构造这样的矩阵
B = | A　A |，
　　| 0　1 |　
B^2 = |A^2　A+A^2|
　　　|0　　　　1 |
....
....
B^k = |A^k 　 A+A^2+...+Ak| ，
　　　|0　　　　　　　1　 |
因此我们只需求出B ^k，然后取其右上角的n*n的矩阵便是答案

#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=62;
int mod;
int trie_s;
struct Matrix
{
    int arr[MAXN][MAXN];
    void init()
    {
        memset(arr,0,sizeof(arr));
        for(int i=1;i<=trie_s;i++)
        {
            arr[i][i]=1;
        }
    }
};
Matrix add(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int j=1;j<=trie_s;j++)
        {
            c.arr[i][j]=a.arr[i][j]+b.arr[i][j];
            if(c.arr[i][j]>=mod) c.arr[i][j]%=mod;
        }
    }
    return c;
}
Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    memset(c.arr,0,sizeof(c.arr));
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int k=1;k<=trie_s;k++)
        {
            if(a.arr[i][k]==0) continue;
            for(int j=1;j<=trie_s;j++)
            {
                c.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j];
                if(c.arr[i][j]>=mod) c.arr[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Matrix pow(Matrix a,int b)
{
    Matrix res;
    res.init();
    while(b)
    {
        if(b&1) res=multi(res,a);
        a=multi(a,a);
        b>>=1;
    }
    return res;
}
Matrix sum(Matrix a,int n)
{
    if(n==1) return a;
    Matrix tmp;
    tmp.init();
    tmp=add(tmp,pow(a,n>>1));
    tmp=multi(tmp,sum(a,n>>1));
    if(n&1) tmp=add(tmp,pow(a,n));
    return tmp;
}
void output(Matrix A)
{
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int j=1,j1=trie_s+1;j<=trie_s;j++,j1++)
        {
            printf("%d ",A.arr[i][j1]);
        }
        printf("\n");
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d%d%d",&trie_s,&n,&mod);
    Matrix A;
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int j=1;j<=trie_s;j++)
        scanf("%d",&A.arr[i][j]);
    }
    Matrix res;
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int j=1;j<=trie_s;j++)
        {
            res.arr[i][j]=A.arr[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=trie_s;i++)
    {
        for(int j=1,j1=trie_s+1;j<=trie_s;j++,j1++)
        {
            res.arr[i][j1]=A.arr[i][j];
        }
    }
    for(int i1=trie_s+1,i=1;i<=trie_s;i++,i1++)
    {
        for(int j=1;j<=trie_s;j++)
        {
            res.arr[i1][j]=0;
        }
    }
    for(int i1=trie_s+1,i=1;i<=trie_s;i++,i1++)
    {
        for(int j1=trie_s+1,j=1;j<=trie_s;j++,j1++)
        {
            if(i1!=j1) res.arr[i1][j1]=0;
            else res.arr[i1][j1]=1;
        }
    }
    trie_s*=2;
    res=pow(res,n);
    trie_s/=2;
    output(res);
    return 0;
}