欧拉角与四元数

以前人们都用Euler Angles来描述几何体的旋转，Euler Angles通常包含XYZ三个旋转分量，也就是我们所熟知的分别绕X、Y、X轴旋转的度数。用Euler Angles表示旋转算是比较节省的了，仅仅利用三个实数就能表示空间中的任意旋转。

下面说说它的缺点：

1. 某些情况下会产生Gimbal Lock，Gimbal Lock是什么可以百度查查；

2. 计算机动画通常需要进行旋转插值，这样的话就需要对Euler Angles三个分量分别做插值，而这三个分量的插值都是相互独立的，最后的插值效果会不够平滑；

英国数学家William Hamilton在1843发明了Quaternion（四元数）。Quaternion是复数的扩展. 很快Quaternion就被应用来描述三维旋转。然而, 直到1985年, Quaternion在计算机动画模拟中的威力才被广泛认识。 1985年Ken Shoemake在他的"Animating Rotation with Quaternion Curves"一文中对Quaternion的原理与应用作了详尽的解释。

Quaternion是一个四维的矢量, 如下:

Q = [w x y z]

其复数形式如下:

Q = w + xi + yj + zk

在图形学中, 单位Quaternion常被利用来描述物体在三维空间中的旋转. 它的几何意义是物体绕轴旋转一个角度. 这个角度表示如下:

cos(θ/2) = w

与Euler Angles相比, Quaternion有很多的优点，前面提到的Euler Angles的两个大缺陷它都克服了。在动画模拟中, 经常需要对旋转作插值计算. 这时候, Quaternion具有矩阵和Euler Angles所不具有的优势: 对旋转进行光滑的插值计算. 它的结果是高质量的动画. 它是通过对角度进行线性插值(Linear Interpolation)得到的。

需要说明的是，Quaternion和矩阵一样，是纯粹的数学概念，不如Euler Angles那么直观。