[PLT] 柯里化的前生今世（一）：函数面面观

关于

本文作为开篇，介绍了出场人物，并形象化的引入了高阶函数，
得到了柯里化的概念。

后续文章，会介绍高阶函数的实现方式，词法作用域和闭包，参数化类型，类型上的柯里化，
敬请期待。
如有不同的认识，或者感兴趣的点，请直接联系我，欢迎指教。

人物介绍

球星库里

库里，Stephen Curry，1988年3月14日出生于美国俄亥俄州阿克伦（Akron, Ohio），
美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于NBA金州勇士队。

斯蒂芬·库里2009年通过选秀进入NBA后一直效力于勇士队，新秀赛季入选最佳新秀第一阵容；
2014-15赛季随勇士队获得NBA总冠军；
两次当选常规赛MVP，两次入选最佳阵容第一阵容，三次入选全明星赛西部首发阵容。

Haskell Curry

这次我们说的不是NBA的库里，而是美国著名的数学家，逻辑学家Haskell Curry，它在组合子逻辑方面有杰出贡献。
Curry本科就读于哈佛大学医学专业，业余选修了数学，1917年转到了数学系。
毕业后，在通用电气找到了一份电气工程师工作，继续在麻省理工进修电气工程，但意识到自己更适合做理论研究，而非应用科学。
1922年转专业到了物理学，但物理学哈佛会更好些，于是作为助教回到了哈佛，1924年拿到了物理硕士学位。
随后，在哈佛攻读数学博士学位。

1924年，他最开始的研究方向是微分方程理论，与此同时他接触了一些逻辑学。
阅读了罗素和怀特海的《数学原理》之后，他产生了使用组合子来分析代换规则的设想。
于是，放弃了微分方程的研究，准备撰写一篇逻辑方面的博士论文。
1929年，他的第一篇论文《逻辑代换的分析》在《美国数学报》发表。

之后，Curry在宾夕法尼亚大学担任教员直至1966年退休，期间曾担任国家研究委员，普林斯顿的高级学会会员。
发表的论文包括，《组合子逻辑的全称量词》《组合子理论的补遗》《显式变量的组合逻辑观点》《组合逻辑中相等性及推导的几个性质》。
1942年，Curry作为符号逻辑学会会长，发表了离职演说《数理逻辑的组合子基础》。
Curry阐明了组合子逻辑与Chruch的lambda演算之间的密切联系，
建立了一套类似于Church和Rosser的完备系统。

第二次世界大战期间，Curry又开始研究应用数学，1943年发表了《Heaviside演算》。
1946年，Curry在应用物理实验室工作后，去了阿伯丁实验场，发布了《使用ENIAC的逆向插值法研究》和《使用ENIAC的四阶插值法研究》。

主要著作有，《组合逻辑》和《数理逻辑基础》。
（注：这里说的这么仔细，是有原因的。组合子逻辑和lambda演算 ，我们多多少少也会提到。

柯里化

名字的由来

以下是维基百科关于Currying的定义：
In mathematics and computer science, currying is the technique of translating the evaluation of a function that takes multiple arguments (or a tuple of arguments) into evaluating a sequence of functions, each with a single argument.

Currying这个概念，首先是由Gottlob Frege引入的，以逻辑学家Haskell Curry命名。
虽然，这个概念是Moses Schönfinkel发明的。

表达式的值和类型

为了说明Currying我们先引入类型的概念。
我们知道编程语言中的表达式是有值的，我们常说，表达式的值为1，值为'a'。
他们在内存中的存储方式是一样的，都是二进制方式。

但是，感觉上，他们应该是不同的东西，于是，我们用不同的类型加以区分。
我们称值1的类型是Int，整型，
值'a'的类型是Char，字符型。

于是，我们就在值的概念上建立了一层抽象，不同的值因此有了不同的属性。
用数学语言来说，类型作为值集上的一种等价关系，诱导出了对该值集的一种划分，
相同类型的值构成了一个等价类。
（注：我们后面将会看到函数类型的引入，让事情变得不是这么简单了。

函数面面观

函数用来将一个或多个值变成另一个值，函数也是一种值，它同样具有类型。
例如，加法函数add是把两个整型值变成一个整型值，假如我们已经定义好了add函数，我们可以这样调用它。

（注：我们这里使用的编程语言，函数调用是不用加括号的，具有最高优先级。add 1 2类似于add(1,2)。

add 1 2
= 3

现在我们考虑一个问题，如果我们只给add提供一个参数，结果是什么呢？
即，add 1是什么？

我们可以形象化的这样考虑，先考虑add，
add就像一台有两个插槽的机器，
如果两个插槽分别提供了1和2，那么它会弹出结果3。

问，如果只有一个插槽提供了1，那它是什么？
很显然，它还是一台机器，只不过只有一个插槽罢了。
因此，add 1还是一个函数，只不过它只接受一个参数罢了，
它返回参数值加1的结果，它的类型我们可以记为，

add 1 :: Int -> Int

我们再回过头来考虑add的类型，我们看到，
add接受1作为参数，返回add 1这个函数。
因此，我们对add就有另外一种看法了，
它是一台有一个插槽的机器，接受参数1后，
弹出的结果是另一台有一个插槽的机器add 1。

因此add的类型我们可以记为，

add :: Int -> (Int -> Int)

为了书写方便，我们假定->具有右结合律，因此，

add :: Int -> Int -> Int

高阶函数

事实上，Currying指的是这样的一个高阶函数，

curry :: ((a, b) -> c) -> (a -> b -> c)

它把函数f变成函数g，

f :: ((a, b) -> c)
g :: a -> b -> c

g = curry f
f = uncurry g

使得任意的x，y，满足，

f (x, y) = g x y

参考

柯里生平
Haskell Curry
Currying
Currying - HaskellWiki