数论 母函数

在此不深究母函数在数学中的具体原理，只知道母函数在解决问题时候的使用情况和代码实现即可。

母函数：就是把一个已知的序列和x的多项式合并起来，新产生的多项式就叫原来序列的母函数

普通母函数：

对于序列：a0，a1，a2，a3……an，母函数为：

f(x)=a0*x^0+a1*x^1+a2*x^2+a3*x^3……an^n

即：

序列{0，1，2，3，4，5，……，n}的母函数为：

f(x)=0*x^0+1*x^1+2*x^2+3*x^3+4*x^4+5*x^5+……+n*x^n         

因为：0*x^0=1，那么可以写成：

f(x)=1+1*x^1+2*x^2+3*x^3+4*x^4+5*x^5+……+n*x^n          ——x是无意义的数

序列{0，1，1，1，1，0，0，0，0}的母函数为：

f(x)=x^1+x^2+x^3+x^4

序列{0，1，4，8，6，9，0}的母函数为：

f(x)=1*x^1+4*x^2+8*x^3+6*x^4+9*x^5

对于母函数的使用问题，在计算以下问题可以用到：

假如x的幂次数表示几克的砝码，那么

1克的砝码表示为1+x^1

2克的砝码表示为1+x^2

3克的砝码表示为1+x^3

4克的砝码表示为1+x^4

每个砝码都可以选择取或不取，所以这里的1可以认为1*x^0，表示不取这颗砝码。

那么把这些乘起来

(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=1+(x^1)+(x^2)+2(x^3)+2(x^4)+2(x^5)+2(x^6)+2(x^7)+(x^8)+(x^9)+(x^10)

根据指数来看，我们可以称出0~10这么多的重量，其中3~7的系数为2，说明有2种称的方法

那么我们来细看一遍

0：（什么砝码都不放）.......................（1种）

1：1.............................................（1种）

2：2.............................................（1种）

3：3或1+2.....................................（2种）

4：4或1+3.....................................（2种）

5：1+4或2+3.................................（2种）

6：2+4或1+2+3..............................（2种）

7：3+4或1+2+4..............................（2种）

8：1+3+4......................................（1种）

9：2+3+4......................................（1种）

10：1+2+3+4.................................（1种）

系数表示数量，指数表示结果，那么2(x^4)则表示结果为4的方法共有2种。

以上为母函数的效果，那么，在具体问题的解答中，母函数应如何实现并解决问题呢？

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：（每张邮票的数量是无限的）

那么

1分：(1+x^1+x^2+x^3+x^4+......)

2分：(1+x^2+x^4+x^6+x^8+......)

3分：(1+x^3+x^6+x^9+x^12+......)

然后这3个乘起来

对于这种无限的，题目肯定会给你他询问的数值的范围，计算到最大的范围就可以了

以下上代码：

指数母函数：

对于序列a0，a1，a2，a3……an，母函数为：

由此可知，母函数和指数母函数的区别在于系数的不同。