统计学习方法 | 决策树

01 决策树定义

之前我们学习了两种分类方法：
K近邻(KNN)
朴素贝叶斯(Naive Bayes)

今天我们来学习另一种分类方法——决策树

在开始学习之前，先提出一个问题：

这三种分类方法的区别是什么呢？分别适用什么场景呢？

好了，带着疑问，我们开始学习决策树~

决策树是什么？

它是一种基本的分类与回归的方法，可以认为是if-then规则的集合，决策树分类时，将某结点的实例强行分到条件概率大的那一类中去。

下面我们主要啊解释分类决策树，回归决策树在CART算法中有提及，篇幅限制，本文暂不做讲解。

它的优点是，模型具有可读性，分类速度快。

决策树定义

决策树由结点、有向边组成，结点分为内部结点和叶结点，顾名思义，内部节点就是特征或属性，叶结点就是决策树的末端，表示一个类，决策树大概长成这样：

我们用决策树分类时，从根结点开始，对实例的某一特征进行测试，根据测试结果，将实例分配到子结点，这时每个子结点对应着分类特征的一个值，如此递归地对实例进行测试并分配，直到达到叶结点，最后将实例分到叶结点的类中。

02 决策树学习

在01节的末尾，我们概述了决策树的构建过程，这一节我们更进一步讲解决策树的学习过程。

目标：根据给定的训练数据集，构建一个决策树模型，使它能够对实例进行正确的分类。

本质：从训练数据集归纳出一组分类规则，由训练数据集估计条件概论模型，从而对训练集有很好的拟合，对未知数据有很好的预测。

步骤：

1. 特征选择
2. 决策树的生成
3. 决策树的剪枝

学习过程
可以概括为，递归地选择最优特征，并根据该特征对训练数据进行分割，使得对各个子数据集有一个最好的分类。

具体步骤如下：

1. 构建根结点，所有训练数据都放在根结点
2. 选择一个最优特征，按照此特征将训练数据集分割成子集，使各子集有一个在当前条件下最好的分类
3. 若子集已经能被正确分类，该结点变为叶结点；否则继续对这些结点选择最优特征，分类，如此递归下去
4. 每个子集都被分到叶结点上，决策树生成
5. step1～4可能对训练数据有很好的分类能力，但对未知数据的预测能力较弱（过拟合），于是需要对决策树进行修剪
6. 去掉过于细分的叶结点，回退到父结点甚至更高的结点，然后将父结点或更高结点改为新的叶结点

常用算法：
ID3
C4.5
CART

03 学习步骤详解

决策树学习过程分为三个步骤：特征选择、决策树生成、决策树剪枝。

下面我们详细讲解每个步骤的算法和原理，介绍ID3算法和C4.5算法。由于篇幅限制，CART算法在本文暂不做讲解。

1. 特征选择

目的：选取对训练数据具有分类能力的特征，从而提高决策树学习效率

准则：
信息增益 (information gain)
信息增益比 (information gain ratio)

信息增益是什么？
定义为，集合D的经验熵H(D)与特征A给定的条件下D的经验条件熵H(D|A)之差

g(D,A) = H(D) - H(D|A)

其中,H(D), H(D|A)定义如下，

在热力学中，熵表示物质的混乱程度，在这里，我们可以这样理解信息增益：表示得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度。信息增益越大，特征的分类能力越强。

如何选择最优特征
我们现在知道信息增益越大，特征的分类能力越强。有了信息增益这个工具，我们自然而然可以选择最优特征了——选择信息增益最大的特征。

再提一句，以信息增益作为划分选择数据集的特征，可能存在偏向于选择取值较多的特征的问题。因此产生了信息增益比这个度量，它规避了信息增益的问题，定义为：信息增益g(D,A)与训练数据集D关于特征A的值的熵HA(D)之比。

2. 决策树的生成

算法核心：在决策树各个结点上应用信息增益准则(ID3算法)或信息增益比准则(C4.5算法)选择特征，递归地构建决策树。

过程：从根结点开始，对结点计算所有可能特征的信息增益(比)，选择增益(比)最大的特征作为结点特征，由该特征的不同取值建立子结点，再对子结点递归地调用以上方法，构建决策树，直到所有特征的信息增益均很小或没有特征可以选择为止。

ID3算法

C4.5算法

3. 决策树的剪枝

决策树的生成算法(ID3, C4.5)，因为过多地考虑提高对训练数据的正确分类，容易产生过拟合。

于是人们想出一个办法解决过拟合的问题：正则化（控制树的复杂度），及决策树的剪枝。

剪枝是将已生成的树进行简化的过程：从已生成的树上裁掉一些子树或叶结点，并将根结点或父结点作为新的叶结点，从而简化分类树模型。

原理：通过极小化决策树整体的损失函数或代价函数来实现。

决策树的损失函数
设树T的叶结点有|T|个，t是树T的叶结点，该叶结点有Nt个样本点，其中k类样本点Ntk个，Ht(T)为叶结点t上的经验熵，那么有：

决策树学习的损失函数

叶结点t的经验熵

决策树损失函数公式

其中：

• C(T)——模型对训练数据的预测误差（即模型与训练数据的拟合程度）
• |T|——模型的复杂度（即叶结点个数）
• alpha——>=0，控制模型拟合程度和复杂度
  • 较大的alpha促使选择较简单的模型（树）
  • 较小的alpha促使选择较复杂的模型（树）
  • alpha=0表示只考虑模型与训练数据的拟合程度，不考虑过拟合

剪枝算法

4. 生成和剪枝算法的区别

决策树生成：只考虑通过提高信息增益(比)对训练数据进行更好地拟合，容易产生过拟合，相当于用极大似然估计进行模型选择。

决策树剪枝：还考虑减小模型复杂度|T|，从而减小过拟合，更好地对未知数据进行预测，相当于用正则化极大似然估计进行模型选择。

04 总结

今天我们学习了除KNN，Naive Bayes分类方法之外的另一种分类方法：决策树。

决策树可以用于分类和回归，我们主要学习了分类树。

我们给出了决策树的定义、学习过程以及过程详解，介绍了ID3、C4.5、剪枝三种算法。

其中，由于篇幅限制，CART算法（分类与回归树算法）没有介绍。

下期我们将学习逻辑回归，敬请期待~