矩阵奇异分解

定理 设

非奇异,则存在正交矩阵P和Q，使得

其中

证明 因为A非奇异，所以

为实对称正定矩阵，于是存在正交矩阵Q使得，

为

的特征值

设x为非0特征向量，因为

又因A非奇异，则Ax不等于0，所以

注意 一般的对称矩阵的特征值没有这个性质

令

P为正交矩阵，且使

称式（3）为正交矩阵A的正交对角分解

引理：

1、设

则

是对称矩阵，且其特征值是非负实数。（参照上面的证明）
2、

证明

具有相同的解，解空间秩为r,所以相等，都为n-r
3、设

则A=0的充要条件是

证明：

定义 设A是秩为r的mxn实矩阵，

的特征值为

则称

为A的奇异值

奇异值分解定理

设A是秩为r(r>0)的mxn的实矩阵，则存在m阶正交矩阵U与n阶正交矩阵V，使得

其中

为矩阵A的全部奇异值

证明：设实对称

的特征值为

存在n阶正交矩阵V使得

将V分为r列与n-r列

则

设

的列向量是两两正交的单位向量，可以将其扩充为m列正交矩阵

这里U是

的特征向量