Leetcode——53.最大子序和

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@author: ZZQ
@software: PyCharm
@file: leetcode53_最大子序和.py
@time: 2018/11/26 12:39

要求：给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

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方法如下：

方法一：暴力遍历法——O(n2)

class Solution():
  def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        nums_len = len(nums)
        if nums_len == 0:
            return 0
        if nums_len == 1:
            return nums[0]
        max_value = nums[0]
        for i in range(nums_len):
            temp_max = 0
            for j in range(i, nums_len):
                temp_max += nums[j]  # 大量的重复运算，拖慢速度
                max_value = max(max_value, temp_max)
        return max_value

方法二：基于方法一避免大量的重复运算 ——O(n2)

class Solution():
  def maxSubArray(self, nums): 
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        nums_len = len(nums)
        temp_sum = [0]*(nums_len+1)
        if nums_len == 0:
            return 0
        if nums_len == 1:
            return nums[0]
        max_value = nums[0]
        for i in range(nums_len):   # 基于方法一，避免大量的重复运算
            temp_sum[i] = temp_sum[i-1] + nums[i]
        for i in range(nums_len):
            for j in range(i, nums_len):
                temp_max = temp_sum[j] - temp_sum[i-1]
                max_value = max(max_value, temp_max)
        return max_value

方法三：分治法——O(nlogn)

        将求长度为n的序列中的最大子序和华为分求两个长度为n/2的序列的最大子序和
        将当前需要计算最大子串的序列分为两半，
        前半段从后往前遍历求最大子串lmax，
        后半段从前往后遍历求最大子串rmax，
        lmax+rmax就是当前长度为n的序列的最大子串，
        然后递归去找长度为n/2的序列的最大子串和，不断求小的序列的子串和。
        最后进行比较，得出最大值就是所求结果。

class Solution():
  def maxSubArray3(self, nums):  
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        nums_len = len(nums)
        if nums_len == 0:
            return 0
        left = 0
        right = nums_len - 1
        ans = self.maxSubArrayCompute(nums, left, right)
        return ans

    def maxSubArrayCompute(self, nums, left, right):
        """
        :type nums: List[int]
        :type left: int
        :type right: int
        :rtype: int
        """
        if left > right:
            return 0
        if left == right:
            return nums[left]
        middle = (left + right)/2
        left_max = self.maxSubArrayCompute(nums, left, middle)
        right_max = self.maxSubArrayCompute(nums, middle+1, right)
        lmax = nums[middle]
        left_sum = nums[middle]
        # 保证求得到子序列是连续的（也就是lmax + rmax是一个连续子序列的和）
        for i in range(middle-1, left-1, -1):  # 前半段逆序加(range(left,right,-1)表示逆序遍历)
            left_sum += nums[i]
            lmax = max(lmax, left_sum)
        rmax = nums[middle+1]
        right_sum = nums[middle+1]
        for i in range(middle+2, right+1):  # 后半段顺序加
            right_sum += nums[i]
            rmax = max(rmax, right_sum)
        return max(rmax+lmax, max(left_max, right_max))

方法四：扫描法——O(n)

        当我们加上一个正数时，和会增加；
        当我们加上一个负数时，和会减少。
        如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。

class Solution():
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        nums_len = len(nums)
        current = nums[0]
        nums_sum = nums[0]
        # 我们考虑如果全是负数，那么返回最大的负数，如果最后的和为正，那么就使用扫描法
        for i in range(1, nums_len):
            if current < 0:
                current = nums[i]  # 当前数小于0 肯定会舍去（否则将会影响接下来的和），换为下一个数
            else:
                current += nums[i]  # 如果当前数不小于0，那么他会对接下来的和有积极影响
            if current > nums_sum:
                nums_sum = current  # 这里既实现了负数返回最大也实现了扫描法
            #这里其实已经隐式的列举了所有可能，保留了所有可能的最大值
        return nums_sum

方法五：动态规划——O(n)

        假设sum[i]为以i结尾的连续子串的和. 假设对于元素i，所有以它前面的元素结尾的子串和都已经求得，
        那么以第i个元素结尾且和最大的连续子串实际上，
           1）要么是以第i-1个元素结尾且和最大的连续子数组加上这个元素，
           2）要么只是第i个元素，即sum[i]
        所以当前的最大连续子串和的计算方法是max(sum[i-1]+nums[i], nums[i])
        这就是需要我们判断sum[i-1]是否大于0。
        由于每次运算只需要前一次的结果，因此算法的时间和空间复杂度都很小。

class Solution():
    def maxSubArray5(self, nums):  # 动态规划
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        nums_len = len(nums)
        if nums_len == 0:
            return 0
        if nums_len == 1:
            return nums[0]
        nums_sum = nums[0]
        pre = nums[0]
        for i in range(1, nums_len):
            if pre > 0:
                pre += nums[i]
            else:
                pre = nums[i]
            nums_sum = max(nums_sum, pre)

        return nums_sum