GARCH模型及拟合案例

实践中,残差序列的异方差函数具有长期自相关性,这时采用ARCH模型拟合产生高阶的移动平均阶数,导致参数估计的难度加大并最终影响ARCH模型的拟合精度

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理论依据

1. ARCH模型的局限

ARCH模型的实质,使用残差平方序列的q阶移动平均拟合当期异方差函数值,由于移动平均模型具有自相关系数q阶截尾性.所以ARCH模型实际上只适用于异方差函数短期自相关过程拟合

2. GARCH(p,q)模型的提出

全称为 广义自回归条件异方差模型 (generalized autoregressive conditionalheteroskedastic) ,针对残差序列具有长期相关性拟合合适的模型,结构如下:

• 提取确定性信息
• 残差序列,可能需要拟合自回归提取相关性
• 包含ARCH和GARCH项,对方差非齐进行拟合

3. AR-GARCH模型

当对原序列提取确定性信息不充分时,可能具有相关性,而不是纯随机性.这时可能先对拟合回归模型,在考察回归残差序列的方差齐性

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拟合案例

问题描述:

• 1969年1月至1994年8月澳大利亚储备银行2年期有价证券阅读利率数据如下;

4.99    5       5.03    5.03    5.25    5.26    5.3     5.45    5.49    5.52    5.7
5.68    5.65    5.8     6.5     6.45    6.48    6.45    6.35    6.4     6.43    6.43
6.44    6.45    6.48    6.4     6.35    6.4     6.3     6.32    6.35    6.13    5.7
5.58    5.18    5.18    5.17    5.15    5.21    5.23    5.05    4.65    4.65    4.6
4.67    4.69    4.68    4.62    4.63    4.9     5.44    5.56    6.04    6.06    6.06
8.07    8.07    8.1     8.05    8.06    8.07    8.06    8.11    8.6     10.8    11
11      11      9.48    9.18    8.62    8.3     8.47    8.44    8.44    8.46    8.49
8.54    8.54    8.5     8.44    8.49    8.4     8.46    8.5     8.5     8.47    8.47
8.47    8.48    8.48    8.54    8.56    8.39    8.89    9.91    9.89    9.91    9.91
9.9     9.88    9.86    9.86    9.74    9.42    9.27    9.26    8.99    8.83    8.83
8.83    8.82    8.83    8.83    8.79    8.79    8.69    8.66    8.67    8.72    8.77
9       9.61    9.7     9.94    9.94    9.94    9.95    9.94    9.96    9.97    10.83
10.75   11.2    11.4    11.54   11.5    11.34   11.5    11.5    11.58   12.42   12.85
13.1    13.12   13.1    13.15   13.1    13.2    14.2    14.75   14.6    14.6    14.45
14.5    14.8    15.85   16.2    16.5    16.4    16.4    16.35   16.1    13.7    13.5
14      12.3    12      14.35   14.6    12.5    12.75   13.7    13.45   13.55   12.6
12      11      11.6    12.05   12.35   12.7    12.45   12.55   12.2    12.1    11.15
11.85   12.1    12.5    12.9    12.5    13.2    13.65   13.65   13.5    13.45   13.35
14.45   14.3    15.05   15.55   15.65   14.65   14.15   13.3    12.65   12.7    12.8
14.5    15.1    15.15   14.3    14.25   14.05   14.7    15.05   14.05   13.8    13.25
13      12.85   12.6    11.8    13      12.35   11.45   11.35   11.55   10.85   10.9
12.3    11.7    12.05   12.3    12.9    13.05   13.3    13.85   14.65   15.05   15.15
14.85   15.7    15.4    15.1    14.8    15.8    15.8    15      14.4    13.8    14.3
14.15   14.45   14.1    14.05   13.75   13.3    13      12.55   12.25   11.85   11.5
11.1    11.15   10.7    10.25   10.55   10.25   10.3    9.6     8.4     8.2     7.25
8.35    8.25    8.3     7.4     7.15    6.35    5.65    7.4     7.2     7.05    7.1
6.85    6.5     6.25    5.95    5.65    5.85    5.45    5.3     5.2     5.55    5.15
5.4     5.35    5.1     5.8     6.35    6.5     6.95    8.05    7.75    8.6 

1.考察方差齐性;
2.选择适当的模型拟合该序列的发展;

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解题步骤:

1. 建立数据集和时间

data a;
input x@@;
lagx=lag(x);
difx=dif(x);
t=intnx('month','1jan1969'd,_n_-1);
cards;
....  # 数据
;

2. 对原序列和一阶差分后序列进行时序图绘制

proc gplot data=a;
plot x*t difx*t;
symbol c=red i=join v=star;
run;

x*t

difx*t

分析 : 原序列非平稳,一阶差分序列平稳且存在异方差现象( 集群效应)

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3.绘制原序列和一阶差分序列相关图

proc arima data=a;
identify var=x;
identify var=x(1);
run;

原序列相关图

一阶差分序列相关图

分析 : 原序列长期相关,一阶差分序列具有平稳性,但也存在拖尾

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4. 对原序列提取趋势信息,绘制残差序列五阶自相关图,并对残差序列进行dw检验,确定相关性信息

提取方式

• 自变量t的幂函数提取趋势信息

proc autoreg data=a;
model x=t/ nlag=5 dwprob ;
run;

参数检测

• 滞后变量的方式提取

proc autoreg data=a;
model x=lagx/ lagdep=lagx nlag=5 dwprob; # 均值不显著,可添加 noint
run;

参数检测

五阶相关图

t提取

lagx提取

残差自相关仍具有相关和拖尾特征,残差序列仍有相关性

dw检验

t提取

lagx提取

两者提取后的残差序列仍具有相关性

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5. 对第一次残差拟合一次AR(2)模型,并对第二次残差进行archtest检验

第一次残差拟合

model x=t/ nlag=5 noint backstep method=ml archtest;
run;

AR(2)参数通过检验

archtest检测

Q.LM检测

对拟合AR(2),Q.LM检测显示长期相关性,可以拟合GARCH模型

6. 最终模型拟合AR(2)-GARCH(1,1)

proc autoreg data=a;
model x=t/ nlag=2 noint garch=(p=1,q=1);
output out=out p=p lcl=lcl ucl=ucl cev=cev residual=residual;  # 数据输出
run;

参数检验

7. 绘制

data out;
set out;
lcl_residul=-1.96*sqrt(0.27415);
Ucl_residul=1.96*sqrt(0.27415);
Lcl_GARCH=-1.96*sqrt(cev);
Ucl_GARCH=1.96*sqrt(cev);
Lcl_P=P-1.96*sqrt(cev);
Ucl_P=P+1.96*sqrt(cev);
proc gplot data=out;
plot x*t=5  lcl*t=3 ucl*t=3 Lcl_P*t=4 Ucl_P*t=4/overlay;
plot residual*t=2 lcl_residul*t=3 Ucl_residul*t=3 Lcl_GARCH*t=4 Ucl_GARCH*t=4/overlay;
symbol2 c=green i=needle v=none;
symbol3 c=black i=join v=none w=2 l=2;
symbol4 c=red i=join v=none;
symbol5 c=green i=join v=none;
run;

拟合图

残差波动拟合