【线性代数的本质】以线性变换的眼光看待叉积

叉积
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  • 叉积的标准解释
  • 从线性变换看待叉积

叉积的标准解释

如果我们有两个向量,我们以这两个向量为边做一个平行四边形,这个平行四边形的面积就是这两个向量叉积的结果。
【线性代数的本质】以线性变换的眼光看待叉积_第1张图片
但是我们还是需要考虑定向问题,其实就是 ij 向量的顺序,如果 ji 的逆时针方向,那么就称为正的,否则为负的。
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然后我们就可以计算出这个叉积的结果:
【线性代数的本质】以线性变换的眼光看待叉积_第3张图片

严格意义意义上说,以下三维向量才是叉积的定义(这里写成了列向量的形式,但是不会改变行列式的值,因为转置不改变行列式的值)
【线性代数的本质】以线性变换的眼光看待叉积_第4张图片

从线性变换看待叉积

为什么叉积是这种形式呢?
【线性代数的本质】以线性变换的眼光看待叉积_第5张图片
我们可以通过计算出这些内容,但是我们来介绍一个更好的推理过程。

  1. 我们将定义一个从三维空间到数轴的特定线性变换,并且它是根据 vw 来定义的。
  2. 找到他的对偶向量
  3. 这个对偶向量就会是 vw 的叉积。
【线性代数的本质】以线性变换的眼光看待叉积_第6张图片

其实就相当于转化为下面这个问题的答案?

Q:当你将向量 p 和某个向量(x,y,z)点乘的时候,所得的结果等于一个 3x3 矩阵的行列式,这个矩阵第一行为(x,y,z),其余两列为 v 和 w 的坐标,要找到一个向量 p 满足上述行为。

我们以 v,w为底的平行四边形乘以向量 p 在垂直于平面的投影得到的体积,必然等于垂直于 v 和 w 且长度为平行四边形面积的向量与(x,y,z)点乘是同一回事。
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