动态规划--最长上升子序列(Longest increasing subsequence)

　　前面写了最长公共子序列的问题。然后再加上自身对动态规划的理解，真到简单的DP问题很快就解决了。其实只要理解了动态规划的本质，那么再有针对性的去做这方的题目，思路很快就会有了。不错不错~加油

　　题目描述：POJ2533

　　给出一个数列，找出这个数列中最长上升子序列中所包含的个数。

　　解题思路：

　　DP问题解题的一般方法就是自下而上，即先求解小的问题，然后再根据小的问题来解决大的问题，最后得到解。但是这里还要满足的条件是最优子结构，即最优解包含着其子问题的最优解。

　　那么我们首先用arr[]数组(从0下标开始)存储要求的数列，用longest_num[i]数组来记录以i为结尾的子序列里面包含的最长上升子序列的数字个数。然后用循环控制，从下标为1开始求longest_num，并且记录找到的最大值，即可得到解。在我的程序里面，我还加了一个功能就是把最长上升子序列打印出来，如果存在有多个的话，那么就只打印最后一个。

　　最后根据下面的DP方程就可以进行求解了:

　　longest_num[i] = max{longest_num[j] + 1,longest_num[i]}     其中j < i && arr[j] < arr[i]

　　程序：

　　

#include <stdio.h>



#define MAX_N 1001

    

int arr[MAX_N];

int longest_num[MAX_N];

int bt[MAX_N];

int max_point = 0;



int LIS(int n)

{

 

    int max = 1;  //最长上升子序列的个数

    int i,j;

    

    for (i = 0; i < n; i++)   //i下标之前(包括i)的最长上升子序列的个数

    {

        longest_num[i] = 1; 

    }



    for (i = 0; i < n; i++)   //用于回溯

    {

        bt[i] = -1; 

    }





    for (i = 1; i < n; i++)

    {

        for (j = 0; j < i; j++)

        {

            if (arr[i] > arr[j] && longest_num[i] < longest_num[j] + 1)

            {

                longest_num[i] = longest_num[j] + 1;

                if (longest_num[i] >= max)

                {

                    max = longest_num[i];

                    max_point = i;

                    bt[i] = j;

                }

            }

        }

    }



    return max; 

}



void backtrack(int point)

{

    if (-1 == bt[point]) 

    {

        printf("%d ",arr[point]);

        return;

    }

    else

    {

        backtrack(bt[point]);

        printf("%d ",arr[point]);

    }

}



int main()

{

    int n,i,ret;

    FILE *fp;



    fp = fopen("in.txt","r");

    if (fp == NULL)

    {

        printf("fopen error!\n");

        return -1;

    }



    fscanf(fp,"%d",&n);

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        fscanf(fp,"%d",&arr[i]);

    }



    ret = LIS(n);

    printf("%d\n",ret);

    

    backtrack(max_point);

    printf("\n");



    return 0;

}

2013/8/16 16:21

 　　测试数据：

　　7

　　1 7 3 5 9 4 8

　　测试结果：