统计学习方法笔记 -- 概论

统计学习方法是基于训练数据构建统计模型，从而对数据进行预测和分析。
统计学习分为，监督学习（supervised learning），非监督学习，半监督学习和强化学习（reinforcement learning），其中以监督学习最为常见和重要，所以这里只讨论监督学习

统计学习的过程如下，
1. 获取训练数据集合
2. 确定假设空间，即所有可能的模型的集合
3. 确定模型选择的准则（什么是最优模型的标准），即学习的策略
4. 实现求解最优模型的算法（如何获取最优模型），即学习的算法
5. 通过算法中假设空间中，找到最优模型
6. 使用该模型对新数据进行预测和分析

输入数据
输入实例x记作，

训练集，有一组输入/输出数据组成，表示为

联合概率分布
监督学习假设输入和输出的随机变量X和Y遵循联合概率分布P(X,Y)，P(X,Y)表示分布函数或分布密度函数。
这个是基本假设，即输入和输出数据间是存在某种规律和联系的，否则如果完全随机的，就谈不上学习了。并且训练数据和测试数据是依据P(X,Y)独立同分布产生的

假设空间
监督学习的目的在于学习一个由输入到输出的映射，这个映射由模型来表示。
而这样的模型不只一个，可能很多，所有可能的模型的集合就是假设空间（hypothesis space）. 假设空间代表了学习的范围，监督学习的目的就是从假设空间中找到最优的模型

 

统计学习三要素

模型
在监督学习中，模型有两类
非概率模型，决策函数
 
概率模型，条件概率

策略
如何定义一个模型好坏？

损失函数(L(Y,f(X))，度量一次预测的结果好坏，即表示预测值f(X)和真实值Y之间的差异程度。

其他几个损失函数都比较好理解
对数损失函数，解释一下
首先它用于概率模型，最精确的预测P(Y|X)=1，所以为1时L=0，没有损失
而P都是小于1，所以对数为负，并且越小L的值越大，想想对数分布曲线

风险函数(risk function)或期望损失(expected loss)
用于度量平均预测结果的好坏，其实就是损失函数的期望
输入X，输出Y遵循联合分布P(X,Y)，定义如下

数学期望
参考http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%9C%9F%E6%9C%9B

 

期望就是求平均值，对于离散值很简单，乘上概率相加就可以，比如抛骰子的期望就是，

对于连续数据，稍微复杂些，需要使用积分，本质还是一样的。
积分参考，http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%AF%E5%88%86

上面说了风险函数代码了模型的平均的预测结果，所以学习的目标应该是选择风险函数最小的模型。
但是问题在于，计算风险函数需要知道联合分布P(X,Y)，但是这个是无法知道的，否则也不用学习了，所以监督学习就成了一个病态问题（ill-formed problem），即无法精确的判断模型真正的效果

经验风险(empirical risk或经验损失(empirical loss)
既然无法得到真正的风险函数的值，我们就用训练数据集上的平均损失来模拟真正的风险函数

当N无穷大的时候，经验风险会逼近期望风险
所以我们可以采用经验风险最小化（empirical risk minimization, ERM）的策略来找到最优的模型，当样本容量足够大的时候，能保证很好的学习效果
在现实中被广泛使用，比如，极大似然估计（maximum likelihood estimation）

当然这种策略的问题就是会导致过拟合（over-fitting）现象
所以提出结构风险最小化（structural risk minimization，SRM）策略来防止过拟合

其实思路很简单，就是在经验风险后面加上表示模型复杂度的正则化项（regularizer）或罚项（penalty term），其中J(f)表示模型复杂度，模型越复杂就越大
因为越是过拟合的模型越是复杂，所以通过regularizer可以有效平衡拟合程度

算法
用什么样的方法来求解最优模型
这样统计学习模型就归结为最优化问题，如果最优化问题有显式的解析解，比较简单，直接求出即可。但通常解析解是不存在的，所以就需要利用最优化算法来求解。

 

过拟合与模型选择
再仔细分析一下过拟合问题
当我们在假设空间中，选择模型的时候，希望可以尽可能逼近那个“真”模型，具体上讲就是两个模型间，参数个数相同，并且参数向量相近
但是如果在选择的时候一味的提高对训练集的预测能力，会导致得到比真模型复杂度更高的模型，即包含更多的参数，称为过拟合

例子，用M次多项式去拟合图中训练集中的10数据点

 
可以看到当多项式参数个数为0，1时拟合效果是很差的
但当为9时，完美的经过训练集中的每个点，但因为训练集是有噪点的，所以这个模型过于复杂，拟合程度也不好，这就是过拟合
只有当为3时，达到很好的拟合效果

如下图，当训练误差接近于0的时候，模型复杂度会大大增加，并且测试误差也会变大，所以必须要找到那个平衡点上的模型

问题是如何找到，下面有两个方法

正则法
这个方法前面提过

正则项可以有不同的形式，比如在回归问题中，损失函数是平方损失，正则项可以是参数向量的L1范数或L2范数
具体定义参考下面，反正都可以代表模型的复杂度

给定向量x=（x1，x2，...xn）
L1范数：向量各个元素绝对值之和，曼哈頓距離
L2范数：向量各个元素的平方求和然后求平方根，歐幾里得距離
 

正则法是符合奥卡姆剃刀（Occam’s razor，http://zh.wikipedia.org/zh/%E5%A5%A5%E5%8D%A1%E5%A7%86%E5%89%83%E5%88%80）原理的，优先选择更简单的模型

交叉验证
1. 简单交叉验证，将数据70%作为训练集，30%作为测试集，然后选出测试误差最小的模型
2. S-fold交叉验证，将数据随机分成S份，将S-1份作为训练集，剩下的作为测试集，对于训练集和测试集有S种选择，所以选出S次评测的平均误差最小的模型
3. leave-one-out交叉验证，S-fold的特例，用于数据缺乏的情况，S=N，即一份里面只有一个数据

 

泛化能力（generalization ability）
学习方法的泛化能力指该方法学习到的模型对未知数据的预测能力
往往采用通过测试误差来评价学习方法的泛化能力，问题是过于依赖测试集，并且测试集是有限的，不是很可靠
所以定义泛化误差来表示泛化能力
泛化误差（generalization error），即模型的期望风险

但是期望风险是无法精确算出的，所以只能定义
泛化误差上界 （generalization error bound）

前面说了，期望风险是无法算出的，所以思路仍然是用经验误差加上一项来代表泛化误差的上界，具体证明就不写了
理解，
第一项是经验误差（训练误差）
第二项，N是样本数量，当N趋于无穷时，这项为0，即期望误差等于经验误差
d表示假设空间中的函数个数，越大就越难学，泛化误差就越大

统计学习的分类

生成模型和判别模型
生成方法
由数据学习联合概率分布P(X,Y)，然后求出条件概率分布P(Y|X)作为预测模型，即生成模型，典型的如，朴素贝叶斯和隐马尔可夫模型
 
优点，
可以得到联合概率分布
收敛速度更快
当存在隐变量时，仍可以使用

判别方法
由数据直接学习决策函数f(X)或条件概率分布P(Y|X)作为预测模型，即判别模型
典型的如，KNN，感知机，决策树，逻辑回归，支持向量等
优点，
学习准确率比较高
便于对数据进行抽象，可以简化学习问题

统计学习还可以根据输入输出的不同类型，分为，
分类问题
输出变量是有限个离散值时，就是分类问题
学习出的分类模型或分类决策函数称为分类器（classifier）
标注问题
输入是一个观测序列，而输出是一个标记序列
典型的应用，词性标注，输入词序列，输出是（词，词性）的标记序列
回归问题
输入输出都是连续变量是，就是回归问题，等价于函数拟合