离散型随机变量的数学期望现实应用

作者：acel rovsion

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来源：知乎

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例谈离散型随机变量数学期望的经济决策应用

1.风险决策 

例1.船队要对下月是否出海做出决策,若出海后是好天,可得收益5000元;若出海后天气变坏,将要损失2000元;若不出海,无论天气好坏都要承担1000元的损失费,据预测下月好天气的概率是0.6,坏天气的概率是0.4,问应如何做出决策(即选择是否出海)? 

解:要做出是否出海的决策,其主要依据是效益的高低,根据题意,不出海的效益是-1000元;而出海的效益要视天气而定,有60%的概率获5000元的收益,有40%的概率获-2000元的收益,设ξ为出海效益数,则可得分布列 

故可求得出海效益的期望值E(ξ)=5000×0.6-2000×0.4=2200(元),显然高于不出海的收益-1000元,故选择出海。 

2.投资决策 

例2.某人用10万元进行为期一年的投资,有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势,若经济形势好可获利4万元,形势中等可获利1万元,形势不好要损失2万元。如果存入银行,假设利率为8%,可得利息8000元,又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大? 

解:由题设可知,在经济形势好和中等的情况下,购买股票是合算的;但如果经济形势不好,那么采取存银行的方案合算。然而现实是不知道哪种情况会出现,因此要比较两种投资方案获利的期望大小。 

购买股票的获利期望是E1=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元);存入银行的获利期望是E2=0.8(万元)。因为E1>E2,所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大,应采用购买股票的方案。 

3.保险理赔决策 

例3.据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02。保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元。若10年内因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少? 

解:设ξi表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1,2,…,1000。则ξ~100 100-a 

0.98 0.02,由题设E(ξi)=100×0.98+(100-a)×0.02=100-002a>0,,则100　　公司期望总收益为。若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望总获益40000元。 

4.经济方案决策 

例4.在商业活动中偷税漏税可非法获益而造成国家财政损失。国家为了防止税收流失,通常对偷税者除补交税款外还要处以偷税额n倍的罚款。统计发现偷漏税者被查出的概率为0.2。这时罚款额度n至少多大才能起到惩罚作用? 

解:假设偷税额为x,ξ为偷税时商家的受益数,则ξ的数学期望为E(ξ)=,0.8x-0.2x-0.2nx=0.2x(3-n)要使处罚有效,必须使E(ξ)<0,则3-n<0,即n>0。故一旦查出至少应处以3倍以上的罚款,才能起到防止偷税漏税现象发生的作用。 

例5.某商场某月开展有奖促销活动,按规定100000人次中,一等奖1个,奖金500元;二等奖10个,各奖100元;三等奖100个,各奖10元;四等奖1000个,各奖2元,某人这个月内在该商场买了5次商品,他期望得奖多少元? 

解:因为一个人任何一次得奖都是等可能的,所以可先设这个人一次购物得奖金ξ元,依题意X的分布列为 

因此ξ的数学期望E(ξ)=110000×11000×100+1100×10+110×2+0=0。45,所以5次购物的期望得奖金数为E(5ξ)=5E(ξ)=5×0.45=2.25(元)。从计算结果可以看出得奖的金额是很小的,因此我们购物不能受高额大奖的诱惑而淡化了购物的本来意义。