求解a的n次方问题

开篇说的废话

每次想从头学做算法题，就逃不开斐波那契额序列（Fibonacci）和a的n次方问题(aⁿ)。感觉着两道题是所有算法的入门基础，但其实这两道题有很多的门路，其实还是挺不容易的。话不多说a的n方问题很容易理解这里就不在介绍题型了，求aⁿ

1.暴力法——O(n)

很容易理解就是for循环对a的连乘，直接上代码。

def pow(a, n):
    if n < 0:
        if a == 0: return 0.0
        return 1.0 / pow(a, -n)

    res = 1
    for i in range(n):
        res *= a
    return res

但是这个实现方式复杂度是要爆炸的O(n)。
你TM仿佛在侮辱我的智商！！！
那么我们如何改进呢？其实就是顺着思路往下想，一个一个乘复杂度过高，那么我们能不能跨步的去乘呢？

2.分治法——O(logn)

我觉得这道题是引入分治思想最为合适的一道入门题。
aⁿ分治的算法思路就是：

• 当n为偶数时：求出r = a^n/2，在做求一次r * r，就得到了aⁿ
• 当n为奇数时：求出r = a^n/2，在做求一次r * r * a，就得到了aⁿ

优化算法思路是有了，但是实现分治的方式也有2种当然两种时间复杂度都是O(logn)：

• 递归：递归的实现很简单直接反复调用自身求得r = pow(a, n / 2)，然后再取余判断偶数还是奇数，返回r * r还是r * r * a
• 位运算：循环n的位数。次每相右移动一位，对自身平方，最后判断奇偶性。

位运算代码

# 位运算
def pow(a, n):
    if n < 0:
        if a == 0: return 0.0
        return 1.0 / pow(a, -n)

    res, tmp = 1, a
    while n:
        if n & 1:
            res *= tmp
        n >>= 1
        tmp *= tmp
    return res

下面是递归代码

# 递归实现
def pow(a, n):
    if n < 0:
        if a == 0: return 0.0
        return 1.0 / pow(a, -n)
    
    if n == 0: return 1
    r = pow(a, n // 2)
    return r * r * a if n & 1 else r * r

需要注意的地方

这个题在计算方面其实并不是很难，难就难在一开始的条件判断n会不会出现小于0的数，a是否等于0，所以在实现的过程中需要非常的细心。