数学建模 排队论 学习笔记
模型背景
模型介绍
排队过程
排队系统的要素
（1）顾客输入过程
（2）排队结构与排队规则
（3）服务机构与服务规则
模型分析
时间分布
排队模型示例：
系统运行状态参数
系统运行指标参数
指标参数用于评价排队系统的优劣，主要有以下的三个依据：
其中第4点服务强度最重要。λ表示单位时间到达的顾客数，u表示单位时间单个服务台最大可以处理的顾客数，s表示服务台数量。
泊松流
当顾客流是泊松流时，顾客到达的时间间隔服从负指数分布，顾客服务时间分布服从负指数分布。
单服务台负指数分布M/M/1排队系统
举例：
代码实现：
MM1模型其实就是MMS的特殊情况（S=1），因此直接在下面的例子中使用程序实现MMS模型即可得到MM1的解决方法。
M/M/S模型
举例：
代码实现
s=2;
mu=4;
lambda=3;
ro=lambda/mu;
ros=ro/s;
sum1=0;
for i=0:(s-1)
sum1=sum1+ro.^i/factorial(i);
end
sum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);
p0=1/(sum1+sum2);
p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros);
Lq=p.*ros/(1-ros);
L=Lq+ro;
W=L/lambda;
Wq=Lq/lambda;
fprintf('排队等待的平均人数为%5.2f人\n',Lq)
fprintf('系统内的平均人数为%5.2f人\n',L)
fprintf('平均逗留时间为%5.2f分钟\n',W*60)
fprintf('平均等待时间为%5.2f分种\n',Wq*60)
结果输出
排队等待的平均人数为 0.12人
系统内的平均人数为 0.87人
平均逗留时间为17.45分钟
平均等待时间为 2.45分种
举例：
注意这里所有的计算需要建立在 ρ<1 的前提下，注意设置λ和μ的时候统一单位（此处为小时h）*
代码实现
对于上面的程序进行修改：
s=3,
mu=0.4*60=24,
lambda=0.9*60=54
结果输出
排队等待的平均人数为 1.70人
系统内的平均人数为 3.95人
平均逗留时间为 4.39分钟
平均等待时间为 1.89分种
可视化展示
有时候为了更加直观地感受，可以绘图表示出顾客的到达时间、离开时间，以及等待时间、停留时间等指标。
以上面的例子为例，程序如下：
clear
clc
%*****************************************
%初始化顾客源
%*****************************************
%总仿真时间
Total_time = 10;
%队列最大长度
N = 10000000000;
%到达率与服务率
lambda = 18; % lambda = 单位时间内平均到达人次λ / 柜台数目 s
mu = 24;
%平均到达时间与平均服务时间
arr_mean = 1/lambda;
ser_mean = 1/mu;
arr_num = round(Total_time*lambda*2);
events = [];
%按负指数分布产生各顾客达到时间间隔
events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num);
%各顾客的到达时刻等于时间间隔的累积和
events(1,:) = cumsum(events(1,:));
%按负指数分布产生各顾客服务时间
events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num);
%计算仿真顾客个数，即到达时刻在仿真时间内的顾客数
len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time);
%*****************************************
%计算第 1个顾客的信息
%*****************************************
%第 1个顾客进入系统后直接接受服务，无需等待
events(3,1) = 0;
%其离开时刻等于其到达时刻与服务时间之和
events(4,1) = events(1,1)+events(2,1);
%其肯定被系统接纳，此时系统内共有
%1个顾客，故标志位置1
events(5,1) = 1;
%其进入系统后，系统内已有成员序号为 1
member = [1];
for i = 2:arr_num
%如果第 i个顾客的到达时间超过了仿真时间，则跳出循环
if events(1,i)>Total_time
break;
else
number = sum(events(4,member) > events(1,i));
%如果系统已满，则系统拒绝第 i个顾客，其标志位置 0
if number >= N+1
events(5,i) = 0;
%如果系统为空，则第 i个顾客直接接受服务
else
if number == 0
%其等待时间为 0
2009.1516
%PROGRAMLANGUAGEPROGRAMLANGUAGE
events(3,i) = 0;
%其离开时刻等于到达时刻与服务时间之和
events(4,i) = events(1,i)+events(2,i);
%其标志位置 1
events(5,i) = 1;
member = [member,i];
%如果系统有顾客正在接受服务，且系统等待队列未满，则 第 i个顾客进入系统
else len_mem = length(member);
%其等待时间等于队列中前一个顾客的离开时刻减去其到 达时刻
events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i);
%其离开时刻等于队列中前一个顾客的离开时刻加上其服
%务时间
events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i);
%标识位表示其进入系统后，系统内共有的顾客数
events(5,i) = number+1;
member = [member,i];
end
end
end
end
%仿真结束时，进入系统的总顾客数
len_mem = length(member);
%*****************************************
%输出结果
%*****************************************
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的到达时刻和离
%开时刻曲线图（stairs：绘制二维阶梯图）
stairs([0 events(1,member)],0:len_mem);
hold on;
stairs([0 events(4,member)],0:len_mem,'.-r');
legend('到达时间 ','离开时间 ');
hold off;
grid on;
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的停留时间和等
%待时间曲线图（plot：绘制二维线性图）
figure;
plot(1:len_mem,events(3,member),'r-*',1: len_mem,events(2,member)+events(3,member),'k-');
legend('等待时间 ','停留时间 ');
grid on;
仿真结果
