树--《大话数据结构》

一、树的定义

树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合，根朝上，叶朝下。

树具有以下的特点：
① 每个结点有零个或多个子结点；没有父结点的结点称为根结点；
② 每一个非根结点有且只有一个父结点；
③ 除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

注意：
① n > 0时根结点是唯一的，不可能存在多个根节点；
② 由子结点构成的子树个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

二、树的相关概念

1. 空树： 树结点的个数（n≥0），当n=0时，称为空树；
2. 结点间的关系：
   ① 结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）；
   ② 同一个双亲的孩子之间互称兄弟；
   ③ 结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点；
   ④ 反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。
   
3. 结点的分类：
   ① 结点的度（Degree）： 结点拥有的子树数；
   ② 树的度： 树内各结点的度的最大值；
   ③ 叶结点： 度为0的结点，也称为终端结点，无孩子，在树中可以存在多个；
   ④ 分支结点： 度不为0的结点，也称为非终端结点；
   ⑤ 内部结点： 树中除根结点之外的分支结点，一个双亲多个孩子；
   
4. ① 结点的层次： 由结点位置，从根开始定义，根为第一层，往下递增（同层的结点互为堂兄弟）；
   ② 树的深度（Depth）： 树中结点的最大层次，也称为高度。
   

三、树的存储结构

• 双亲表示法：
  每个结点分别由一个数据域和一个指针域构成。数据域存储结点的数据信息，指针域储存双亲的地址。
  注意： 因为根结点没有双亲，故约定其指针域为NULL。

• 孩子表示法：
  每个结点分别由一个数据域和多个指针域构成。指针域指向每一棵子树的根结点。也称为多重链表表示法。
  注意： 因为不同结点的孩子个数可能有差异，故需要设计方案解决：
  ① 按树的度，也就是树中各个结点度的最大值，指定指针域的个数；（浪费内存）
  ② 每个结点指针域的个数等于该结点的度。增添一个专门位置，存储结点指针域的个数；（维护麻烦）
  ③ 将每个结点的孩子排列起来，以单链表作存储结构（叶子结点则此链表为空）。然后将这些链表的头指针，组成一个线性表存储。

• 孩子兄弟表示法：
  每个结点分别由一个数据域和两个指针域构成。指针域指向该结点的第一个孩子和右兄弟。该方法本质上等价于将任意一个复杂的树，转换成二叉树结构。
  注意： 若某结点没有孩子或右兄弟，将对应的指针域设定为NULL。

四、特殊树——二叉树

4.1 二叉树的定义

二叉树是n个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的（分别称为根结点的左子树、右子树）二叉树组成。

二叉树具有以下特点：
① 每个结点最多只有两棵子树，所以二叉树中的结点度取值只能为三个值——0、1、2；
② 左子树和右子树是有顺序的，不能任意颠倒；
③ 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分其是左子树还是右子树。

二叉树具有五种基本形态：
① 空二叉树；
② 只有一个根结点；
③ 根结点只有左子树；
④ 根结点只有右子树；
⑤ 根结点既有左子树又有右子树。

4.2 二叉树的存储结构

• 顺序存储结构： 用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置（数组的下标），需要体现结点之间的逻辑关系（双亲与孩子、兄弟等）。（维护麻烦、浪费内存，一般不会使用）
  存储时，将目标二叉树看作完全二叉树，对各结点进行层序编号。其编号，就是在数组中存储时的下标。若某个编号对应的结点不存在，在数组中存储特殊标志值表示。
• 二叉链表： 每个结点分别由一个数据域和两个指针域构成。指针域分别指向存放左、右孩子的地址。如下图：
  

4.3 二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层上至多有2^{(i - 1)} 个结点（i ≥ 1）.；
2. 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k ≥ 1） ；
3. 对任何一棵二叉树，若终端结点数为a，度为2的结点数为b，则a = b + 1；
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为 [log₂n] + 1（[x]表示不大于x的最大整数）；
5. 如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为[log₂n] + 1）的结点按层序从上至下、从左至右编号，对任一结点i（1 ≤ i ≤ n）有：
   ① 若i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；若i > 1，其双亲是结点 [i / 2]；
   ② 若2i > n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则，其左孩子是结点2i；
   ③ 若2i + 1 > n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i + 1。

4.4 特殊形式二叉树

4.4.1 斜树：

所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

4.4.2 满二叉树：

在一棵二叉树中，若所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树具有以下特点：
① 叶子只能出现在最下一层，出现在其它层就不可能达到平衡；
② 非叶子结点的度一定是2；
③ 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

4.4.3 完全二叉树：

对一个二叉树的结点按层次从上至下、从左至右编号。如果每个编号，与等深度的满二叉树相同位置的结点完全一致。则称该树为完全二叉树。

完全二叉树具有以下特点：
① 叶子结点只能出现在最下两层；
② 最下层的叶子一定集中在左部连续位置；
③ 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置；
④ 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，既不存在只有右子树的情况；
⑤ 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

4.4.4 线索二叉树：

利用二叉树结点的空指针域，存储该结点以某种次序遍历的前驱、后继（线索），提高遍历效率的同时，增强了内存空间的利用效率。加了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树。而以某种次序遍历，使一个二叉树变成线索二叉树的过程，称为线索化。
线索二叉树的结点变量，需要包含两个成员标志（ltag、rtag），来表示lchild、rchild是指向左右孩子，还是前驱后继。如下：

4.5 二叉树的遍历

二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

• 前序遍历： 若二叉树为空，则空操作返回；否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树（根——左子树——右子树）。如下：
  
• 中序遍历： 若二叉树为空，则空操作返回；否则先遍历根结点的左子树，然后访问根结点，再中序遍历右子树（左子树——根——右子树）。如下：
  
• 后序遍历： 若二叉树为空，则空操作返回；否则按从左到右、先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点（左子树——右子树——根）。如下：
• 层序遍历： 若二叉树为空，则空操作返回；否则从树的第一层，即根结点开始，按从上而下、从左到右的顺序逐个访问结点。如下：
  

五、树、森林、二叉树的转换

5.1 “树”转换成“二叉树”

① 加线。在所有兄弟结点之间加一条连线；
② 去线。对树中每个结点，只保留它与第一个孩子结点的连线，删除它与其他孩子结点之间的连线；
③ 层次调整。以树的根结点为轴心，讲整棵树顺时针旋转一定角度，使其结构层次分明。注意第一个孩子是二叉树结点的左孩子，兄弟转换过来的孩子是结点的右孩子。

5.2 “森林”转换成“二叉树”

① 把每棵树转换为二叉树；
② 第一棵二叉树不动。从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点，作为前一棵二叉树的根结点的右孩子，用线连接起来。当所有的二叉树连接起来后，就得到了由森林转换而来的二叉树。

5.3 “二叉树”转换成“树”

① 加线。若某结点A，存在左孩子结点B，则将B的所有右孩子结点，都作为A的孩子，用线连接起来；
② 去线，删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线；
③ 层次调整。使之结构层次分明。
如下：

5.4 “二叉树”转换成“森林”

① 从根结点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点相连的线删除。再查看分离后的二叉树，若右孩子存在，则连线删除……，直到所有右孩子连线都删除为止；
② 将每棵分离后的二叉树转换成树即可。