深度搜索的应用----有向图的连通性

有向图的连通性，首先看一下下面2个图，

在图1 中A->B-C->A，那么我们就说这个有向图存在环路。

在图2中A->B->C， A->C，无法形成一个环路，则称A，B，C三点不存在环路

                              

                图1                                                         图2                    

以下的例子是我自己临时起意乱画的，也不知道合适与否，有兴趣的朋友讲究看一下吧。^_^

从上面的图可以明显的看出，有向图形成了一个环路，2-->8-->5-->3-->2（节点6作为一个单独的节点没有和任何节点有联系）

题目：判断一个有向图中是否存在环路，如果存在环路，打印环路中的一条通路的节点号并按升序排列，如果存在多条环路，只要打印其中一条环路即可。

例如上图就打印：2，3，5，8

输入：

8 7    //8代表节点数目，7代表有向图的联通路径总数

1 4 4 2 2 7 2 8 8 5 5 3 3 2    //这组输入数据代表有向图的方向和连通性

1-->4

4-->2

2-->7

2-->8

8-->5

5-->3

3-->2

按照第二排输入的数据，就可以画出上面的有向图的连接状态

输出：

2， 3，5，8

方法一：

一个节点一个节点去判断是否形成环路：每次都是从第i个节点开始，例如：从节点i开始扫描，如果再次回到节点i，就说明形成了环路。

如果有10个节点就要扫描10次，如果有100个节点就要扫描100次，此种方法效率不是很高，但是容易理解。

扫描的方式我们采取深度搜索的方式。

具体代码如下：

1. #include
2. using namespace std;
3. bool success = false;
4. bool isFinish = false;
5. int visit[100];
6. int AnswerN;
7. int Answer[100];
8. int N, M;
9. int endNode;
10. int A[100];
11. int B[100];
12. int array[100][100];
13. void DFS(int array[100][100], int node)
14. {
15.     //当发生递归的时候，说明i节点已经被被访问，记录下它当时的访问状态，1代表该节点已经被访问过了
16.     visit[node] = 1;
17.     int i;
18.     for (i = 0; i < N; ++i)
19.     {
20.         //如果该标志位为true表示已经深度搜索完成了，但是没有形成环路
21.         isFinish = false;
22.         //如果已经形成了环路，则不需要进行后续的深度搜索
23.         if (success)
24.         {
25.             break;
26.         }
27.         
28.         //如果第node节点和第i节点存在连通性
29.         if (array[node][i] == 1)
30.         {
31.             //如果第i节点就是最终的节点，即找到了环路
32.             if (i == endNode)
33.             {
34.                 success = true;
35.                 //找到后，存储该点，并加1，因为程序下标0开始的，加1后对应题目中的节点标号
36.                 Answer[AnswerN++] = i + 1;
37.                 break;
38.             }
39.             // 如果不存在环路，但是还有剩余联通的节点，则继续进行深度搜索
40.             if( visit[i] == 0)      
41.             {
42.                 DFS(array, i);
43.                 //只把形成环路的点，存贮到最后的结果中，多余的点剔除在外
44.                 if (isFinish == false)
45.                 {
46.                     Answer[AnswerN++] = i + 1;
47.                 }
48.             }
49.         }
50.         //第node节点，i从0循环到N都没有联通，则没有形成环路
51.         isFinish = true;
52.     }
53.     
54. }
55. int main()
56. {
57.     int i, j;
58.     cin >> N >> M;
59.     for (i = 0; i < M; ++i)
60.     {
61.         cin >> A[i] >> B[i];
62.     }
63.     //初始化邻接矩阵和访问节点的标记位
64.     for (i = 0; i < N; ++i)
65.     {
66.         for (j = 0; j < N; ++j)
67.         {
68.             array[i][j] = 0;
69.         }
70.         visit[i] = 0;
71.         Answer[i] = 0;
72.     }
73.     //填入邻接矩阵的值
74.     for (i = 0; i < M; ++i)
75.     {
76.         array[A[i] - 1][B[i] - 1] = 1;
77.     }
78.     AnswerN = 0;
79.     success = false;
80.     //对每个结点实施深度搜索
81.     for (i = 0; i < N; ++i)
82.     {
83.         //每次对i节点进行深度搜索，都要初始化visit数组
84.         for (j = 0; j < N; ++j)
85.         {
86.             visit[j] = 0;
87.         }
88.         //起点也即终点
89.         endNode = i;
90.         DFS(array, i);
91.         //已经成环了，因为只要找到一条路径，所以不再寻找后续的环路
92.         if (success)
93.         {
94.             break;
95.         }    
96.     }
97.     if (success == false)
98.     {
99.         AnswerN = 0;
100.     }
101.     else
102.     {
103.         //如果存在环形队列则排序
104.         for (i = 0; i < AnswerN; ++i)
105.         {
106.             for (j = i; j < AnswerN; ++j)
107.             {
108.                 if (Answer[i] > Answer[j])
109.                 {
110.                     int tmp = Answer[i];
111.                     Answer[i] = Answer[j];
112.                     Answer[j] = tmp;
113.                 }
114.             }
115.         }
116.     }
117.     //输出最后的结果
118.     if (AnswerN == 0)
119.     {
120.         cout << "0 " << endl;
121.     }
122.     else
123.     {
124.         for (i = 0; i < AnswerN; ++i)
125.         {
126.             cout << Answer[i] << "  ";
127.         }
128.         cout << endl;
129.     }
130.     return 0;
131. }

方法二：

从第一个节点进行深度搜索，一次性走完该节点相关所有的深度搜索的节点。

如果存在环路，直接从找出来，如果不存在环路，是否有剩余未访问的节点，如果有再进行深度搜索的遍历。

相对来说该方法提高了效率，相当于深度搜索是每个联通的数据块，一个联通的数据块可能有环路，可能没有环路，如果没有环路，深度搜索下个联通的数据块。

具体代码如下：

1. #include
2. using namespace std;
3. bool success = false;
4. int visit[100];
5. int tree[100];
6. int AnswerN;
7. int Answer[100];
8. int N, M;
9. int A[100];
10. int B[100];
11. int array[100][100];
12. int DFS(int array[100][100], int node)
13. {    
14.     visit[node] = 1;
15.     int i;
16.     int t;
17.     for (i = 0; i < N; ++i)
18.     {
19.         //如果第node节点和第i节点存在连通性
20.         if (array[node][i] == 1)
21.         {
22.             //如果找到了环路
23.             if (visit[i] == 1)
24.             {
25.                 Answer[AnswerN++] = node;
26.                 //找node节点的父节点
27.                 int w = tree[node];
28.                 //循环查找父节点，追溯至源头
29.                 while (w != tree[w])
30.                 {
31.                     //父节点就是i节点，即此时形成了环路
32.                     if (w == i)
33.                     {
34.                         Answer[AnswerN++] = w;
35.                         return 1;
36.                     }
37.                     Answer[AnswerN++] = w;
38.                     w = tree[w];
39.                 }
40.                 if (w == i)
41.                 {
42.                     Answer[AnswerN++] = w;
43.                     return 1;
44.                 }
45.             }
46.             else  //如果没有被访问过，则再进行深度搜索
47.             {            
48.                 //记录下i节点的父亲节点node，即node是i的父节点
49.                 tree[i] = node;
50.                 t = DFS(array, i);
51.                 if (t == 1)
52.                 {
53.                     return 1;
54.                 }
55.             }
56.         }
57.     }        
58.     return 0;
59. }
60. int main()
61. {
62.     int i, j;
63.     cin >> N >> M;
64.     for (i = 0; i < M; ++i)
65.     {
66.         cin >> A[i] >> B[i];
67.     }
68.     
69.     for (i = 0; i < N; ++i)
70.     {
71.         for (j = 0; j < N; ++j)
72.         {
73.             array[i][j] = 0;
74.         }
75.         visit[i] = 0;
76.         Answer[i] = 0;
77.         //初始化父节点
78.         tree[i] = i;
79.     }
80.     for (i = 0; i < M; ++i)
81.     {
82.         array[A[i] - 1][B[i] - 1] = 1;
83.     }
84.     AnswerN = 0;
85.     for (i = 0; i < N; ++i)
86.     {
87.         //判断剩余的访问节点，如果没有被访问则再进行深度遍历，如果已经被访问了就不会访问该节点了
88.         if (visit[i] == 0)
89.         {
90.             if (1 == DFS(array, i))
91.             {
92.                 success = true;
93.                 break;
94.             }
95.             
96.         }
97.         success = false;
98.     }
99.     if (success == false)
100.     {
101.         AnswerN = 0;
102.     }
103.     else
104.     {
105.         //如果存在环形队列则排序
106.         for (i = 0; i < AnswerN; ++i)
107.         {
108.             for (j = i; j < AnswerN; ++j)
109.             {
110.                 if (Answer[i] > Answer[j])
111.                 {
112.                     int tmp = Answer[i];
113.                     Answer[i] = Answer[j];
114.                     Answer[j] = tmp;
115.                 }
116.             }
117.         }
118.     }
119.     if (AnswerN  == 0)
120.     {
121.         cout << "0" << endl;
122.     }
123.     else
124.     {
125.         for (i = 0; i < AnswerN; ++i)
126.         {
127.             cout << Answer[i]+1 << "  ";
128.         }
129.         cout << endl;
130.     }
131.     
132.     return 0;
133. }

最后给出几个参考用例

5 5

4 3 2 4 3 5 3 2 1 4      //输出 2 3 4

5 5

4 3 2 4 3 5 2 3 1 4      //输出0

6 5

1 5 6 4 3 1 5 3 4 6      //输出 1 3 5