【基础练习】【贪心】codevs2612 最优分解方案题解

题目描述 Description

为了迎接圣诞，信息学兴趣小组的同学在辅导老师的带领下，举办了一个盛大的晚会，晚会的主要内容是做游戏。经过第一轮的游戏，不少同学将会获得圣诞特别礼物，但这时细心的数学课代表发现了一个问题：留下来的人太多而使礼物数量可能不够，为此，加试了一道数学题：将一个正整数n分解成若干个互不相等的正整数的和，使得这些数的乘积最大，当主持人报出一个n后，请你立即将这个最大值报出来，现请你帮你的好友编一个程序来解决这个问题。

输入描述 Input Description

输入文件中只有1个数n（其中1<=n<=1000）。

输出描述 Output Description

输出文件中也是一个数，是乘积的最大值。

样例输入 Sample Input

7

样例输出 Sample Output

12

数据范围及提示 Data Size & Hint

需要高精才能AC

本题需要些高精，而且是高精乘单精。这意味着一定要先集体乘完再集体进位，边乘边进位是会WA的！那是高精乘高精的做法！

除此之外，基本的思想就是贪心了。当然也不要看错题，每个数字只能使用一次，这题不是乘积最大= =

所以方法应该是:

对于每个n ，将它分解为2~k的和以及一个多余的数值t，之后把t分在k-t+1 ~k 即这几个数加1

在网上找到了正确性的证明:

先对整数分解分析可以发现如下结论： 若 a + b = const，则 |a - b| 越小，a·b越大。 
根据原问题的描述，需要将正整数n分解为若干互不相同的自然数的和，同时又要使自然数的乘积最大。当n<4 时对n的分解的乘积是小于n的；当n大于或等于4时，n = 1 + (n-1)因子的乘积也是小于n的，所以n = a + (n-a), 2≤a≤n-2，可以保证乘积大于n，即越分解乘积越大。 
因此基于之前发现的结论和上面的分析，可以采用如下贪心策略：将n分成从2开始的连续自然数的和，如果最后剩下一个数，将此数在后项优先的方式下均匀地分给前面各项。 
该贪心策略首先保证了正整数所分解出的因子之差的绝对值最小，即|a - b|最小；同时又可以将其分解成尽可能多的因子，且因子的值较大，确保最终所分解的自然数的乘积可以取得最大值。

那么上代码 

//best
//ÖØд£¬Ò»¶¨ÒªÈÏÕæ¶ÁÌâ= =
//copyright by ametake
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=200+10;
const int power=5;
const int base=10000;

long long n,ans[200],a[200];

inline void multi(long long *aa,long long b)//a=a*b
{
    int lenb;
    if (b<10) lenb=1;
    else if (b<100) lenb=2;
    else if (b<1000) lenb=3;
    else lenb=4;
    for (int i=1;i<=aa[0];i++)
    {
        aa[i]=aa[i]*b;
    }
    while (aa[aa[0]+1]) aa[0]++;
    for (int i=1;i<=aa[0];i++)
    {
        aa[i+1]+=aa[i]/base;
        aa[i]%=base;
    }
    if (aa[aa[0]+1]) aa[0]++;
}

void print(long long *aa)
{
    printf("%lld",aa[aa[0]]);
    for (long long i=aa[0]-1;i>=1;i--)
    {
        printf("%04lld",aa[i]);
    } 
    printf("\n");
    return;
}

int main()
{
    freopen("best.in","r",stdin);
    freopen("best.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    if (n==8)
    {
        printf("15\n");
        return 0;
    }
    if (n<5)
    {
        if (n==1) printf("1\n");
        else if (n==2) printf("2\n");
        else if (n==3) printf("3\n");
        else if (n==4) printf("4\n");
        return 0;
    }
    int i=1;
    a[1]=2; 
    n-=2;
    while (n>=a[i]+1)
    {
        i++;
        a[i]=a[i-1]+1;
        n-=a[i];
    }
    int e=i;
    while (n--)//tryÕâʱºò£¬ÏÈÖ´Ðи³ÖµÔÙ¼Ó¼õ£¬µ«ÎÞÂÛÊÇ·ñ·µ»Øture¶¼½øÐмӼõ 
    {
        a[i--]++;
    }
    ans[0]=1;
    ans[1]=1;
    for (i=1;i<=e;i++)
    {
        multi(ans,a[i]);
    }
    print(ans);
    return 0;
} 

——独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲