次导数 次梯度 小结

1.导数(Derivative)的定义

在说次梯度之前，需要先简单介绍一下导数的概念与定义。导数（英语：Derivative）是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
对于一般的函数 f(x) ，其导数为：

f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx

如果不使用增量， f(x) 在 x0 处的导数 也可以定义为：当定义域内的变量 x 趋近于 x0 时，

f′(x)=f(x)−f(x0)x−x0

2.次导数(subderivative)

次导数（subderivative）、次微分（subdifferential）、次切线（subtangent lines）和次梯度（subgradient）的概念出现在凸分析，也就是凸函数的研究中。

设f:I→R是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如最经典的例子就是 f(x)=|x| ，在 x=0 处不可导。但是，从下图的可以看出，对于定义域内的任何 x0 ，我们总可以作出一条直线，它通过点 (x0,f(x0)) ，并且要么接触f的图像，要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。

3.次导数与次微分(subdifferential)计算方式

凸函数f:I→R在点x0的次导数，是实数c使得：

f(x)−f(x0)≥c(x−x0)

对于所有I内的x。我们可以证明，在点x0的次导数的集合是一个非空闭区间[a, b]，其中a和b是单侧极限

a=limx→x−0f(x)−f(x0)x−x0

b=limx→x+0f(x)−f(x0)x−x0

它们一定存在，且满足a ≤ b。
所有次导数的集合 [a,b] 称为函数 f 在 x0 的次微分。

例如：考虑凸函数 f(x)=|x| 。在原点的次微分是区间[−1, 1]。 x0<0 时，次微分是单元素集合{-1}，而 x0>0 ，则是单元素集合{1}。

4.性质及推广

1.凸函数f:I→R在x0可导，当且仅当次微分只由一个点组成，这个点就是函数在 x0 的导数。
2.点 x0 是凸函数f的最小值，当且仅当次微分中包含零，也就是说，在上面的图中，我们可以作一条水平的“次切线”。这个性质是“可导函数在极小值的导数是零”的事实的推广。

5.次梯度

次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果f:U→ R是一个实变量凸函数，定义在欧几里得空间Rn内的凸集，则该空间内的向量v称为函数在点x0的次梯度，如果对于所有U内的x，都有：

f(x)−f(x0)≥v⋅(x−x0)

所有次梯度的集合称为次微分，记为 ∂f(x0) 。次微分总是非空的凸紧集。