一个歧义

  库尔特·哥德尔有两个名字相对立的定理：哥德尔完备性定理和哥德尔不完备性定理。介绍后者影响力的读物有时会将两者相提并论，然后指出：它们一起说明了完备性只对充分弱的系统存在。这实在是极不恰当的。

  因为这两个定理中的完备性根本就不是一回事。

  哥德尔完备性定理说的是语义完备性，它代表能够证明在所有解释下都成立的永真命题，这些命题的本性是重言式，其真值完全与具体模型无关，因此除了表现推理规则外并不能说明实质性的内容。不管这些真命题看上去形式多么复杂，完备性定理保证一阶逻辑体系有能力将其“辨认”出来，对体系所不能证明的命题并没有要求。

   哥德尔不完备性定理则说的是句法完备性，它代表能够证明所有它无法否定的命题，但这些命题当然不一定是重言式。在可靠性的前提下，句法完备性不但要求体系证明永真命题（蕴含了语义完备性），甚至还要求它去证明那些仅在特定解释下才为真的命题，而这些命题当然会含有实质性的内容,也就是某个模型独有的属性。

  结合两个定理能说明的事情是：存在语义完备而句法不完备的自洽理论T，此时存在命题P，使得T能证明“P或非P”，但既不能证明P也不能证明非P。例如，一阶公理化的ZF就同时符合完备性和不完备性定理的条件。