LOJ3247 Non-Decreasing Subsequences

Non-Decreasing Subsequences

Bessie 最近参加了一场 USACO 竞赛，遇到了以下问题。当然 Bessie 知道怎么做。那你呢？

考虑一个仅由范围在 \(1\ldots K\) 之间的整数组成的长为 \(N\) 的序列 \(A_1,A_2,\ldots ,A_N\)。给定 \(Q\) 个形式为 \([L_i,R_i]\) 的询问。对于每个询问，计算 \(A_{L_i},A_{L_{i+1}},\ldots ,A_{R_i}\) 中不下降子序列的数量模 \(10^9+7\) 的余数。

\(A_L,\ldots ,A_R\) 的一个不下降子序列是一组索引 \((j_1,j_2,\ldots ,j_x)\)，满足 \(L\le j_1 以及 \(A_{j_1}\le A_{j_2}\le \ldots \le A_{j_x}\)。确保你考虑了空子序列！

对于全部数据，\(1\le K\le 20,1\le N\le 5\times 10^4,1\le Q\le 2\times 10^5,1\le L_i\le R_i\le N\)。

题解

http://jklover.hs-blog.cf/2020/06/06/Loj-3247-Non-Decreasing-Subsequences/
https://www.luogu.com.cn/blog/Karry5307/sol-p6009

矩阵乘法.

dp 显然可以写成转移矩阵的形式.

记 \(v\) 为长度为 \(K\) ,值全为 \(1\) 的列向量, \(w\) 为长度为 \(K\) ,仅第一个值为 \(1\) 的行向量, \(T_i\) 表示第 \(i\) 个数对应的转移矩阵.

那么询问 \([l,r]\) 的答案就是

\[(w(\prod_{i=l}^r T_i)v)_{0,0} \]

第 \(r\) 个位置的转移矩阵大概长这样：

\[T_{r,i,j}=[i=j]+[i\leq j][j=a_r] \]

注意到转移矩阵 \(T_i\) 有逆,且逆是容易直接求出的,于是可以考虑维护转移矩阵前缀积,以及逆矩阵的前缀积.

考虑这个东西的逆矩阵是啥。根据人类智慧得到

\[T_{r,i,j}^{-1}=[i=j]-\frac{1}{2}[i\leq j][j=a_r] \]

记 \(x_i=T_1T_2T_3\cdots T_iv,y_i=wT_{i}^{-1}\cdots T_{3}^{-1}T_2^{-1}T_1^{-1}\) ,则询问的答案为 \((y_{l-1}x_r)_{0,0}\) .

\(T_i\) 和 \(T_{i}^{-1}\) 都只有 \(O(k)\) 个位置有值,于是右乘 \(T_{i}\) 与左乘 \(T_{i}^{-1}\) 都可以 \(O(K^2)\) 完成.

时间复杂度 \(O(nK^2+qK)\) .

CO int N=5e4+10;
int K,a[N],op;
struct matrix {int v[20][20];} x[N],y[N];

matrix operator*(CO matrix&a,CO matrix&b){
	matrix ans={};
	if(!op){
		for(int k=0;k();read(K);
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read()-1;
	
	op=0;
	for(int i=0;i();q--;){
		int l=read(),r=read(),ans=0;
		for(int k=0;k