堆和堆排序：为什么说堆排序没有快速排序快
------ 本文是学习算法的笔记，《数据结构与算法之美》，极客时间的课程 ------
我们今天讲另外一种特殊的树，“堆（Heap）”。堆这种数据结构的应用场景非常多，最经典的莫过于堆排序了。堆排序是一种原地的、时间复杂度为O(nlogn)的排序算法。
前面我们学过快速排序，平均情况下，它的时间复杂度为O(logn)。尽管这两种排序算法的时间复杂度都是O(nlogn)，甚至堆排序比快速排序的时间复杂度还要稳定，但是，是实际软件开发中，快速的排序的性能要比堆排序好，这是为什么呢？
如何理解“堆”？
前面我们提到，堆是一种特殊的树。我们现在来看看，什么样的树才是堆。
- 堆是一个完全二叉树；
- 堆中每个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。
其中第1个和第2个是大顶堆，第3 个是小顶堆，第4个不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不再形态的堆。
如何实现一个堆？
要实现一个堆，我们先要知道，堆都支持哪些操作以及如何存储一个堆。
完全二叉树适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。
从上图中可以看出，数组下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i2的节点，右子节点就是下标为 i2+1 的节点，父节点不是下标为 i/2 的节点。
知道了如何存储一个堆，那我们再来看看，堆上的操作有哪些？我罗列了几个非常核心的操作，分别是往堆中插入一个元素和删除堆顶元素。（如果没有特殊说明，我下面都是拿大顶堆来讲解）。
1、往堆中插入一个元素
往堆中插入一个元素后，我们需要满足堆的两个特性。
如果我们把新插入的元素放到堆的最后，如下图，是不符合堆的特性的。还需要调整，让其重新满足堆的特性。这个过程就叫作堆化（heapify）。堆化分为两种，从下往上和从上往下。先说从下往上的堆化方法。
堆化非常简单，就是顺着节点所在的考核体系，向上或者躺下，对比，然后交换。
如下面的分解图，我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系。代码实现如下：
public class Heap{
private int[] a; //数组，从下标1开始存储数据
private int n; // 堆可以存储的最大数据个数
private int count; // 堆中已经存储的数据个数
public Heap(int capacity) {
a = new int[capacity + 1];
n = capacity;
count = 0;
}
public void insert(int data) {
if(count >= n) {
return; // 没有空间了
}
++count;
a[count] = data;
int i = count;
while(i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) {
int temp = a[i];
a[i] = a[i/2];
a[1/2] = temp;
i = i/2;
}
}
}
2、删除堆顶元素
从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于（或小于等于）子树节点的值，我们可以发现，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。
假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。
这里我也画了一个分解图。不过这种方法有点问题，就是最后出来的堆并不满足完全二叉树的特性
实际上，我们稍微改变一下思路，就可以解决这个问题。我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。
因为我们移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。
public void removeMax() {
if (count == 0) {
return;
}
a[1] = a[count];
--count;
heapify(a, count, 1);
}
private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
while (true) {
int maxPos = i;
if (i * 2 <= n && a[i] < a[i * 2]) {
maxPos = i * 2;
}
if (i * 2 + 1 <= n && a[maxPos] < a[i * 2 + 1]) {
maxPos = i * 2 + 1;
}
if(maxPos == i) {
break;
}
int tem = a[i];
a[i] = a[maxPos];
a[maxPos] = tem;
i = maxPos;
}
}
堆化的过程虽顺着节点所在的路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以往堆中插入一个元素和删除堆元素的时间复杂度都是O(logn)。
如何基于堆实现排序？
前面我们讲过好几种排序算法，有时间复杂度是（O2）的冒泡、插入、选择排序，有时间复杂度是O(nlogn)的归并、快速、线性排序。
借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫做堆排序。这种排序算法的时间复杂度非常稳定，是O(nlogn)，并且它还是原地排序算法，如此优秀，这是怎么做到的呢？
可以把堆排序的过程大致分解成两大步骤，建堆和排序
1、建堆
首先将数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作。建堆的过程，有两种思路。
第一种是借助我们前面讲的，在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为1的数据。然后，我们调用前面的插入操作，将下标从2到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含n 个数据数组组织成了堆。
第二种实现思路，跟第一种截然相反。第一种思路的处理过程是从前往后处理数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上的堆化。而第二种实现的思路，是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。
如下图，因为叶子往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从第一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。
public void buildHeap(int[]a, int n) {
for(int i = n/2; i >= 1; --i) {
heapify(a, n, i);
}
}
上面的代码中，我们对下标从 n/2 开始到 1 的数据进行堆化，下标是 n/2+1 到 n 的节点是叶子节点，我们不需要堆化。实际上，对于完全二叉树来说，下标从n/2+1 到 n的节点都是叶子节点。
建堆操作的时间复杂度是多少呢？
每个节点堆化的时间复杂度是O(logn)，那 n/2+1 个节点堆化的总时间复杂度是不是就是O(nlogn)呢？这个答案虽然也没错，但这个值不够精确。实际上，堆排序的建堆过程时间复杂度是O(n)。
因为叶子节点是不需要堆化的，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点的高度 k 成正比。看下图
我们将每个非叶子节点的高度求和，就是下面的公式：
最后再把 2h= n 代入，可得建堆的时间复杂充就是O(n)。
2、排序
建堆结束之后，数组中的数据已经是执照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大的元素就放到了下标为 n 的位置。
这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n-1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶元素，放到下标是 n-1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下为1个元素，排序工作就完成了。
public void sort(int[]a, int n) {
buildHeap(a, n);
int k = n;
while( k > 1) {
int temp = a[k];
a[k] = a[1];
a[1] = temp;
--k;
heapify(a, k, 1);
}
}
整个堆排序的过程，都只需要极个别的临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是O(n)，排序过程的时间复杂度是O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是O(nlogn)。
堆排序是不稳定的排序算法，因为排序的过程，存在的最后一个节点跟堆项节点互换的操作，所以就有可能改变值相等数据的原始相对顺序。
解答开篇
现在，我们来看下，实际开发中，为什么快速排序要比堆排序性能好？
第一、堆排序访问数据的方式没有快速排序友好。
对于快速排序来说，数据是顺序访问的。而对于堆排序来说，数据是跳着访问的。比如，堆排序中，最重要的一个操作就是数据的堆化。比如下面这个例子，对堆顶进行堆化，会依次访问数组下标是1，2，4，8的元素，而不像快速排序那样，局部顺序访问，所以，这样对CPU缓存是不友好的。
第二、对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。
我们在讲排序的时候，提过两个概念，有序度和逆序度。对于基于比较的排序算法来说，整个排序过程是由两个基本操作组成的，比较和交换。快速排序交换的次数不会比逆序度多。
但是堆排序的第一步是建堆，建堆的过程会打乱数据原有的相对选择顺序，导致数据有序度降低。比如对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后，数据反而变得更无序了。