鸽巢原理也称为抽屉原理。如果k+1个或者更多的物体放在k个盒子中,那么至少有一个盒子包含了2个或者更多的物体。
证明 如果k个盒子中没有一个盒子中包含的物体超过1个,那么物体的总数最多为k,这与至少k+1个物体相互矛盾。
证明:对每个整数n,存在一个数是n的倍数,并且它的十进制表示中只出现0和1。
解 令n是正整数。考虑n个整数:1,11,111,…,11 ⋯ \cdots ⋯ 1(最后一个数字的十进制表示中有n+1个1)。当一个整数被n整除时,可能存在n个余数。因为这个数表中有n+1个整数,因此有两个整数在除以n时有相同的余数。这两个整数之差的十进制表示中只包含0和1,且它能被n整除。
如果N个物体放入到k个盒子中,那么至少有一个盒子包含至少 ⌈ N / k ⌉ \lceil N/k \rceil ⌈N/k⌉个物体。
证明 假设没有盒子包含了比 ⌈ N / k ⌉ \lceil N/k \rceil ⌈N/k⌉-1多的物体,那么物体总数至多是
k ( ⌈ N k ⌉ − 1 ) < k ( ( N k + 1 ) − 1 ) = N k (\lceil\frac{N}{k}\rceil -1) < k ((\frac{N}{k}+1)-1)=N k(⌈kN⌉−1)<k((kN+1)−1)=N
这里使用到不等式 ⌈ N / k ⌉ < ( N / k ) + 1 \lceil N/k \rceil < (N/k)+1 ⌈N/k⌉<(N/k)+1,这与存在总数N个物体矛盾。
一个普遍的问题是,把一些物体分到k个盒子中使得某个盒子至少有r个物体,求这些物体的最少个数。当有N个物体时,广义鸽巢原理告诉我们,只有 ⌈ N / k ⌉ ≥ r \lceil N/k \rceil \ge r ⌈N/k⌉≥r 一定有r个物体在一个盒子里。满足 N / k > r − 1 N/k >r-1 N/k>r−1的最小正整数,即 N = k ( r − 1 ) + 1 N=k(r-1)+1 N=k(r−1)+1 是满足不等式 ⌈ N / k ⌉ ≥ r \lceil N/k \rceil \ge r ⌈N/k⌉≥r 的最小正整数。
如果有5个可能的成绩A,B,C,D,E,那么一个班里最少要多少个学生才能保证至少6个学生有相同的分数。
解 为保证至少6个同学获得相同的分数,所需的最少学生数应该满足 ⌈ N / 5 ⌉ = 6 \lceil N/5 \rceil = 6 ⌈N/5⌉=6。因此, N = 5 ( 6 − 1 ) + 1 = 26 N=5(6-1)+1=26 N=5(6−1)+1=26。如果只有25个学生,那么每个分数可能只有5个学生,而没有6个学生得到同样的分数。因此,26个学生能够保证至少有6个学生得到相同的分数。
在30天的一个月里,某棒球队一天至少打一场比赛,至多打45场比赛。证明一定有连续的若干天这个队恰好打了14场比赛。
解 假设aj表示这个月的第j天或第j天之前打的场数,则a1,a2,…,a30是不同正整数的递增序列,其中1 ≤ \le ≤ aj ≤ \le ≤ 45。因此,a1+14,a2+14,…,a30+14也是不同正整数的递增序列,其中15 ≤ \le ≤ aj ≤ \le ≤ 59。
60个正整数a1,a2,…,a30,a1+14,a2+14,…,a30+14全都小于等于59,因此根据鸽巢原理,有两个正整数是相等的。对于整数aj,j=1,2,…30都不相同;并且对于aj+14,j=1,2,…30也不相同。所以,一定存在下标 i 和 j ,使得ai=aj+14,即从第 j+1 天到第 i 天恰好打了14场比赛。
利用鸽巢原理还可以得到如下定理:
每个由 n2+1个不同实数组成的序列都包含一个长为 n+1 的严格递增子序列或严格递减子序列。
证明 令a1,a2,…,an2+1是n2+1个不同的实数序列。序列中每一项ak,关联着一个有序对k,dk>,其中ik是从ak开始的最长的严格递增子序列的长度,dk是从ak开始的最长的严格递减子序列的长度。
假定没有长度为n+1的递增或递减子序列。那么 ik 和 dk 都是小于或等于 n 的正整数,k=1,2,…,n2+1。由乘积法则关于有序对k,dk>则可能会有n2种可能。根据鸽巢原理,n2+1个有序对中必定有两个相等。也就是说,存在项 as 和 at,s
由于序列的项是不同的,不是 as > at 就是 as < at。如果 as < at,由于 is = it,所以把 as 加到从 at 开始的递增子序列前面就构造成一个从 as 开始的的长度为 is+1 的递增子序列。从而产生矛盾。类似的,如果 as > at,可以证明 ds > dt,从而产生矛盾。
另外,鸽巢原理也被应用于组合学的重要部分拉姆齐理论中,拉姆齐理论可用于处理集合元素的子集分配问题。
[1] 离散数学及其应用(原书第6版),(美)Kenneth H. Rosen 著 袁崇义 屈婉玲 张桂芸 等译,机械工业出版社