鸽巢原理

鸽巢原理

鸽巢原理也称为抽屉原理。如果k+1个或者更多的物体放在k个盒子中，那么至少有一个盒子包含了2个或者更多的物体。

证明  如果k个盒子中没有一个盒子中包含的物体超过1个，那么物体的总数最多为k，这与至少k+1个物体相互矛盾。

应用实例1

证明：对每个整数n，存在一个数是n的倍数，并且它的十进制表示中只出现0和1。
解  令n是正整数。考虑n个整数：1,11,111,…,11 $\cdots$ 1（最后一个数字的十进制表示中有n+1个1）。当一个整数被n整除时，可能存在n个余数。因为这个数表中有n+1个整数，因此有两个整数在除以n时有相同的余数。这两个整数之差的十进制表示中只包含0和1，且它能被n整除。

广义鸽巢原理

如果N个物体放入到k个盒子中，那么至少有一个盒子包含至少 $\lceil N/k\rceil$个物体。

证明  假设没有盒子包含了比$\lceil N/k\rceil$-1多的物体，那么物体总数至多是

$$k(\lceil \frac{N}{k}\rceil -1)<k((\frac{N}{k}+1)-1)=N$$
这里使用到不等式 $\lceil N/k\rceil <(N/k)+1$，这与存在总数N个物体矛盾。
   一个普遍的问题是，把一些物体分到k个盒子中使得某个盒子至少有r个物体，求这些物体的最少个数。当有N个物体时，广义鸽巢原理告诉我们，只有$\lceil N/k\rceil \ge r$ 一定有r个物体在一个盒子里。满足 $N/k>r-1$的最小正整数，即 $N=k(r-1)+1$ 是满足不等式 $\lceil N/k\rceil \ge r$ 的最小正整数。

应用实例2

如果有5个可能的成绩A,B,C,D,E，那么一个班里最少要多少个学生才能保证至少6个学生有相同的分数。
解  为保证至少6个同学获得相同的分数，所需的最少学生数应该满足$\lceil N/5\rceil =6$。因此，$N=5(6-1)+1=26$。如果只有25个学生，那么每个分数可能只有5个学生，而没有6个学生得到同样的分数。因此，26个学生能够保证至少有6个学生得到相同的分数。

鸽巢原理的应用

应用实例3

在30天的一个月里，某棒球队一天至少打一场比赛，至多打45场比赛。证明一定有连续的若干天这个队恰好打了14场比赛。
解  假设a_j表示这个月的第j天或第j天之前打的场数，则a₁,a₂,…,a₃₀是不同正整数的递增序列，其中1 $\le$ a_j $\le$ 45。因此，a₁+14,a₂+14,…,a₃₀+14也是不同正整数的递增序列，其中15 $\le$ a_j $\le$ 59。
    60个正整数a₁,a₂,…,a₃₀,a₁+14,a₂+14,…,a₃₀+14全都小于等于59，因此根据鸽巢原理，有两个正整数是相等的。对于整数a_j，j=1,2,…30都不相同；并且对于a_j+14，j=1,2,…30也不相同。所以，一定存在下标 i 和 j ，使得a_i=a_j+14，即从第 j+1 天到第 i 天恰好打了14场比赛。

利用鸽巢原理还可以得到如下定理：

定理

每个由 n²+1个不同实数组成的序列都包含一个长为 n+1 的严格递增子序列或严格递减子序列。

证明  令a₁,a₂,…,a_n²+1是n²+1个不同的实数序列。序列中每一项a_k，关联着一个有序对k，d_k>，其中i_k是从a_k开始的最长的严格递增子序列的长度，d_k是从a_k开始的最长的严格递减子序列的长度。
   假定没有长度为n+1的递增或递减子序列。那么 i_k 和 d_k 都是小于或等于 n 的正整数，k=1,2,…,n²+1。由乘积法则关于有序对k，d_k>则可能会有n²种可能。根据鸽巢原理，n²+1个有序对中必定有两个相等。也就是说，存在项 a_s 和 a_t，ss = i_t , d_s = d_t 。
   由于序列的项是不同的，不是 a_s > a_t 就是 a_s < a_t。如果 a_s < a_t，由于 i_s = i_t，所以把 a_s 加到从 a_t 开始的递增子序列前面就构造成一个从 a_s 开始的的长度为 i_s+1 的递增子序列。从而产生矛盾。类似的，如果 a_s > a_t，可以证明 d_s > d_t，从而产生矛盾。

   另外，鸽巢原理也被应用于组合学的重要部分拉姆齐理论中，拉姆齐理论可用于处理集合元素的子集分配问题。

参考文献

[1] 离散数学及其应用(原书第6版)，（美）Kenneth H. Rosen 著   袁崇义 屈婉玲 张桂芸 等译，机械工业出版社