矩阵论知识点

最近考试不断，今天终于告一段落了。矩阵论我花了将近两个礼拜复习，多少有点感悟，所以赶紧写下来，不然估计到时候又还给老师了，也希望自己的见解对你们也有帮助！！

总的来说矩阵论就讲了如下6个知识点：

（1）线性空间与线性变换

（2）范数理论及其应用

（3）矩阵分析及其应用

（4）矩阵分解

（5）特征值的估计

（6）广义逆矩阵

1.线性空间与线性变换

1.1线性空间

首先我们需要知道什么是空间？？空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足8条性质的向量集合，这8条性质分别如下:

所以矩阵论考试里面如果要你证明一个向量集合是线性空间？？只需要证明集合满足上述8条性质就可以了，该证明的难度在于怎么表示该集合中的向量。

然后对于线性空间中的元素（元素很多），我们肯定不可能通过枚举法将每个元素枚举出来的吧，这样不太现实。最好的方法就是找到线性空间中的基，通过这些基和坐标我们就可以表示出线性空间中所有的向量。针对上述想法，我们就应该考虑满足条件基的存在性和唯一性，得到的结果是这样的基是存在的但是不唯一！！当时这里就牵涉到另一个问题，线性空间的基是不唯一的，对于同一个元素在不同基下坐标肯定是不同的！！如果我们知道基与基之间的关系，我们是否可以知道坐标与坐标的关系，这就推导出了下面公式：

之后的一个概念就是线性子空间，这个名词我们可以拆开进行理解，子空间说明了该空间是一个线性空间的子集，线性说明这个子空间满足齐次性和叠加性，具体形式如下：

最后一个概念是线性子空间的交与和，这和集合的交与和性质差不多，这里我需要重点介绍的直和的概念， 直和的概念和集合的并类似，不同的是 直和中并的两个集合是不相交的，即两个集合中没有共同元素。

以上就是线性空间中所有的知识点。

1.2线性变换及其矩阵

这一节出现一个概念叫做线性变换，记为T，出现线性变换的原因就是对于一个向量我们希望通过某种变换将该向量转变成我希望的目标向量，换句话说线性变换就相当于函数，自变量就相当于我们已知的向量，因变量就是我们的目标向量，这样应该好理解点。

然后数学家发现对于一个线性变化，其实可以通过与矩阵相乘来表示，即：

然而，这里我们又面临一个问题，我们上式中的x其实不是表示一个向量，而是线性空间中的坐标，1.1节我们可以知道线性空间的基不同会导致坐标发生变化，最后导致而对于同一个线性变换在不同基下对应的矩阵不同！！所以我们就想，假如我们知道基与基之间的关系，线性变换对应的矩阵有什么关系？？

上面定理解决了上述疑问。

而后我们知道不同基下对应的矩阵的关系为 ，所以我们就想我们能不能找到一组基，线性变换对应的矩阵是一个对角阵，这样不就好计算吗？？这里就引出了相似对角化的问题，现在的问题就是怎样找到矩阵P，将矩阵A变换到对角阵B，数学家找到一种工具，就是求特征值和特征向量。（大学学线性代数的时候就一直有一种疑问，为什么要求特征向量，有什么用？？当时老师也没讲，学个矩阵论竟然解决了这个疑问）。

好，现在我们来讲特征值和特征向量！！

看到这里你知道为什么要求特征值了吧，至于怎么求特征值和特征向量，我就不讲了，这些都是最基础的东西，我想讲清楚的是为什么需要做这些事情。对于相似矩阵的一些性质，我也不讲了，如果都讲的话估计我该出书了。但是有一个性质我需要特别提出来，因为后面要用到，具体形式如下：

接下来介绍的一个概念就是不变子空间，通俗的讲就是如果一个向量x属于一个子空间，如果经过线性变换得到向量y仍然属于这个子空间，那么就称该空间为不变子空间。东西就是这么一个东西！！

最后是Jordan标准型，因为并不是每一个矩阵A都能相似对角化的，能相似对角化的条件是矩阵A存在n个线性无关的特征向量，而并不是所有矩阵都满足，所以我们退而求其次，使得矩阵B的形式如下：

通过下列推导过程可以很好的说明Jordan标准型的求取：

1.3两个特殊的线性空间

 前面我们介绍了线性空间的性质，可以看出线性空间只能满足向量的一些线性运算，对于求取向量的模和方向根本无法表示，所以我们在线性空间的基础上添加一下性质，得到特殊的线性空间，在该空间中的向量运算可以表示模和方向。我们称该空间为欧式空间或内积空间。

定义：

通过上述的定义，我们可以得到对于该空间中的任意俩个向量的内积推导如下：

 由上可知，只要知道矩阵A和两个向量x,y在基下的坐标，就可以通过公式求内积，

但是矩阵A在不同基下表示形式也不同，所以我们现在关键的问题是找到不同基下矩阵A之间的关系，

通过推导我们可以得到：

和第一节的想法类似，我们就在想如果矩阵A是单位矩阵就好了，计算多方便呀，所以我们就想能不能找到一组合适的基，对应的度量矩阵就是单位阵。这就引出了单位正交化的概念，如果我们的基向量两两正交，且为单位向量，矩阵A不就是单位阵了嘛，那么怎么找到这样的单位正交向量呢？？这就要通过Schmidt正交化方法来解决这个问题了。公式的具体推导过程如下：

    下面来介绍一下正交变换，忘掉书上那一大堆的定义，通俗的讲正交变换就是将向量进行旋转变换

，正交变换是 线性变换所以也可以通过一个矩阵来表示，但是该矩阵具有特殊性，是一个正交

阵，即矩阵中向量都是单位正交矩阵，同时具有如下性质：

     

然后介绍的是对称变换，通俗讲就是将向量基于另一个向量进行镜像，就像由入射光得到反射光一样，当然对称变换也是线性变换，对应的矩阵是实对称矩阵，其性质如下：

    

对于实对称矩阵，其对应的特征值为实数，特征向量两两正交。

最后是对酉空间的一个介绍，其实酉空间就是对于线性空间在虚数上的推广，性质都差不多，需要知道的只有两点：

（1）正规矩阵

满足条件，对于任意正规矩阵都可以进行酉分解，具体形式如下：

（2）谱分解

因为对于任意正规矩阵都可以分解成如下形式：

不知道你们从上面公式看出什么猫腻没有？？一个矩阵可以用几个矩阵相加来表示，

如果我们将p作为基矩阵，那么 任意一个矩阵我们只要知道其系数，我们就可以通过

基矩阵将其表示出来，这对于图像的传输就变得方便很多，我们只需要将系数传输到

接收端，接收端利用基矩阵和系数将其重组，就可以得到对应的图像矩阵，传输的效

率 提升的不是一点点的问题，所以感觉数学还是很有用的。

后续