NOIp2018普及组T3暨洛谷P5017 摆渡车:题解

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P5017

emm,这次的真的不简单的,T3比T4难?

醉了。。。

蒟蒻肯定没有其他大佬讲的好啊,但肯定尽力,真的敲得呕心沥血,求过 。纪念写出的一道比较经典的线性动规。

分析题意,我(以弱者的角度先看问题) 首先想到的是:排序+贪心。本以为今天如此简单,结果发现是自己太天真了。。。然而之后发现:并不一定要一次接着一次的发车,所以贪心破产。

之后就有点摸不着头脑,去打了T4,出于宣泄直接上爆搜,惊奇的发现样例过了,赶快开心的回来再看T3.

这时候就想:普及深搜,模拟,签到都出了,这道题多半就是动规了吧,于是,扯了这么一大堆下面进入正题。

分析:

思路:动规+前缀和(但据某些大佬说还可以用斜率优化?在这里很抱歉我太弱而不会)。

首先我们直切核心——状态转移方程。

我们可以设 f [ i ] f[i] f[i]表示i时间前所有人的最小等待时间。

PS:在这里如果不好确定方程的维数怎么办?可以结合数据范围和空间限制来考虑(多半是,虽然这题好像也可以有二维与t无关的数组)。

我们可以把每个人的时间都标在一条时间轴上。然后能更直观的理解。

这里借用@sooke 大佬的一张图。

我们假设发车时间为每个来回4min,各位等车的同学如图中蓝点所示。

然后我们假设当前要求的 f [ i ] f[i] f[i]中的 i = 11 i=11 i=11,于是下面开始分析。

我们可以发现:如果之前的都已经算出的话,那么状态转移方程可如下所示:

f [ i ] = m i n ( f [ i ] , f [ j ] + ( c n t [ i ] − c n t [ j ] ) ∗ i − ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) ) ; f[i]=min(f[i],f[j]+(cnt[i]-cnt[j])*i-(sum[i]-sum[j])); f[i]=min(f[i],f[j]+(cnt[i]cnt[j])i(sum[i]sum[j]));

其中 c n t [ i ] cnt[i] cnt[i]代表第i时间到达车站的同学的人数, s u m [ i ] sum[i] sum[i]代表第i时间到达车站的同学的时间的总和。

j j j即为上一辆车的发车时间。

刚开始我们对于j的范围,应该能想到是:

0 < = j < = i − m 0<=j<=i-m 0<=j<=im

很明显的( ⊙ o ⊙ )!j的取值只要小于i并且和i相聚一个往返时间不就行了吗?

然后的结果是:50分。(官方数据亲测)

但是noip都结束了呀同志,我们不能只局限于50分呀!

所以进行改进:

这时候我们又想:可不可以将j的范围进一步缩小呢?

但其实是肯定可以的。我们发现j可以:

i − 2 m + 1 < = j < = i − m i-2m+1<=j<=i-m i2m+1<=j<=im

为什么呢?因为如果两车间的相距时间大于了一趟往返的时间,那么我们完全可以在两者中间继续分割,并不影响原来的答案。

这个时候也是大大的提升了程序的速度,然而:70分(官方数据亲测)

泪奔~

and then ,我们可以继续考虑有没有什么可以剪去的无用状态。

仔细研究发现:当两次发车之间如果没有需要等待的同学的话,直接跳过即可。

经过改正:100分(官方亲测)

AC代码:

#include
#include
using namespace std;
int a[501],cnt[4000005],sum[4000005],f[4000005];
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int Time=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		cnt[a[i]]++;
		sum[a[i]]+=a[i];
		Time=fmax(Time,a[i]);
	}
	for(int i=1;i<Time+m;i++)
	{
		cnt[i]+=cnt[i-1];
		sum[i]+=sum[i-1];
	}
	for(int i=0;i<Time+m;i++)
	{
		if (i>=m&&cnt[i-m]==cnt[i])
		{
			 f[i]=f[i-m]; 
			 continue; 
		} 
		f[i]=cnt[i]*i-sum[i];
		int tmp;
		tmp=fmax(i-2*m+1,0); 
		for(int j=tmp;j<=i-m;j++)
		{
			f[i]=fmin(f[i],f[j]+(cnt[i]-cnt[j])*i-(sum[i]-sum[j]));
		}
	}
	int ans=2147483647;
	for(int i=Time;i<Time+m;i++)
	{
		ans=fmin(ans,f[i]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}
完结撒花~

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