机器学习之优化算法（二）之梯度下降及收敛性分析

优化算法

上图中，可以看出，确定性优化算法和随即优化算法是有明显的分界线的。如果加上分布式集群上的实现方式，就可以分为同步或异步的算法。从梯度下降（GD）后，20世纪50年代，各种一阶算法井喷，其中 SGD 也是这个时候的产物。

对算法的分析 可以分为一阶的还是二阶的，对偶的还是非对偶的，确定的还是随机的。

梯度下降

梯度下降（GD）是柯西（Cauchy ）大神的1847年提出的。其基本思想是：最小化目标函数在当前状态的一 阶泰勒展开，从而近似地优化目标函数本身 :
$$minf(w^{\ast })=min\{f(w_t)+\nabla f(w_t{)}^T(w^{\ast }-w_t)\}(1)$$
假设 $w=w_{t+1}$，因为 $w_t-w_{t+1}$ 是一个小的矢量，因为太大的话（1）式就不成立了（泰勒公式），注意，这里 $f(w_t)$ 是已知的。假设 $w_t-w_{t+1}=\eta v$，其中 $v$ 是单位向量，因为$w_{t+1}$的方向不确定，这里$v$的方向也式不确定的（即我们确定了$v$，$w_{t+1}$ 的方向也就确定了）。于是，（1）式可以表示为：
$$minf(w_{t+1})=minf(w_t)+min\nabla \eta vf(w_t{)}^T(2)$$
这里，我们需要让 $f(w_{t+1})=f(w_t)<0$（最小化目标函数，也是梯度下降的目的），$\eta >0$ 的小的常数，于是，得到：
$$v\nabla f(w_t{)}^T<0(3)$$
我们需要最小化（3）式。这里，求两个向量的乘积小于零，代表其方向相反，为使得（2）式右端最小，可以取 $v$ 为：
$$v=-\frac{\nabla f(w_t)}{||f(w_t)||}(4)$$
（上式可根据：$A\cdot B=||A||\cdot ||B||cos\alpha$，取$cos\alpha =-1$）
这里，将（4）式中的 $||\nabla f(w_t)||$ 合并到常数项 $\eta$ 中。根据 $w_t-w_{t+1}=\eta v$，于是得到梯度下降法的更新规则如下：
$$w_{t+1}=w_t-\eta \nabla f(w_t)(5)$$

在推出梯度下降规则（5）的过程中，用到了假设 $w_t-w_{t+1}=\eta v$，这个假设其实有某些限制条件，即 $w_t$ 的所有分量都在 $v$ 方向上减少 $\eta$ 得到 $w_{t+1}$，即限制了 $w_{t+1}$ 的空间，即只能在某个方向上变动，因为梯度下降是一维曲线，这样的假设是合理的。还有，在这里将 $||\nabla f(w_t)||$ 合并到常数项 $\eta$ 中有个问题，$||\nabla f(w_t)||$ 是梯度的范数，它是变化的，合并后我们还使用固定常数 $\eta$，就造成了（5）式不严格成立。所以，常用的梯度下降也是变步长的！ 因为没有归一化梯度，这其实符合实际，因为梯度大时，就多走一段距离，小时就少走一点。其实，关于 $\eta$ 真的有好多工作要做！这也是一系列自适应算法的由来。
将其代入上式，得：
$$f(w_t)-f(w_{t+1})=\eta \nabla f(w_t{)}^T\nabla f(w_t)(6)$$
这里，得到一个奇怪的结论，因为等式（3）右边是梯度的内积乘以一个常数，所以是大于零的。所以得到：$f(w_t)-f(w_{t+1})>0$ 一定成立，也就是使用梯度下降法梯度一定是下降的！为什么会这样呢？//TODO 想明白了再解决这些谬论。

收敛性分析

对于（5）式中的 $\eta$，我们要做一些限制，从而使得目标函数（1）式是收敛的。
关于函数的各种性质的定义参见 机器学习之优化算法（一）之损失函数，这篇文章里有函数性质（Lipschitz连续、凸、光滑）的定义。

收敛性

这里用变量 $x$ 代替参数 $w$。这里，考察第 t 步迭代 $x_t$ 与 $x^{\ast }$ 的距离。
假设目标函数 $f$ 是 $R^d$ 上的凸函数，并且$\beta -$光滑。当步长 $\eta =\frac{1}{\beta }$ 时，梯度下降法是收敛的。
根据梯度下降公式（5）有：
$$||x_{t+1}-x^{\ast }|{|}^2=||x_t-\eta \nabla f(x_t)-x^{\ast }|{|}^2(7)$$
等式右边开平方得：
$$||x_{t+1}-x^{\ast }|{|}^2=||x_t-x^{\ast }|{|}^2-2\eta \nabla f(x_t{)}^T(x_t-x^{\ast })+{\eta }^2||\nabla f(x_t)|{|}^2(8)$$
根据$\beta -$平滑性质2有：
$$f(x_t)-f(x^{\ast })\le \nabla f(x_t{)}^T(x_t-x^{\ast })-\frac{1}{2\beta }||\nabla f(x_t)-\nabla f(x^{\ast })|{|}^2(9)$$
因为$x^{\ast }$为最终解，$\nabla f(x^{\ast })=0,f(x_t)>f(x^{\ast })$，代入（9）式得到：
$$-\nabla f(x_t{)}^T(x_t-x^{\ast })\le -\frac{1}{2\beta }||\nabla f(x_t)|{|}^2(10)$$
将（10）代入（8）得到：
$$||x_{t+1}-x^{\ast }|{|}^2\le ||x_t-x^{\ast }|{|}^2-\frac{\eta }{\beta }||\nabla f(x_t)|{|}^2+{\eta }^2||\nabla f(x_t)|{|}^2$$
$$=||x_t-x^{\ast }|{|}^2-\eta \left(\frac{1}{\beta }-\eta \right)||\nabla f(x_t)|{|}^2(11)$$
所以，当 $\eta <\frac{1}{\beta }$ 时，上式是收敛的。

最优解

这里，考察第 t 步迭代 $f(x_t)$ 与 $f(x^{\ast })$ 的距离，我们要最小化这个距离，即损失最小。

由$\beta -$光滑性质1，有：
$$f(x_{t+1})-f(x_t)\le \nabla f(x_t{)}^T(f(x_{t+1})-f(x_t))+\frac{\beta }{2}||x_{t+1}-x_t|{|}^2$$
$$=-\eta ||\nabla f(x_t)|{|}^2-\frac{\beta }{2}{\eta }^2||\nabla f(x_t)|{|}^2=-\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})||\nabla f(x_t)|{|}^2(12)$$
将$f(x^{\ast })$ 代入（12）得：
$$[f(x_{t+1})-f(x^{\ast })]\le [f(x_t)-f(x^{\ast })]-\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})||\nabla f(x_t)|{|}^2(13)$$
根据凸函数的性质，有：
$$f(x_t)-f(x^{\ast })\le \nabla f(x_t{)}^T(x_t-x^{\ast })\le ||\nabla f(x_n)||\cdot ||x_n-x^{\ast }||$$，即：
$$-||\nabla f(x_t)||\le -\frac{f(x_t)-f(x^{\ast })}{||x_t-x^{\ast }||}(14)$$
将（14）代入（13）得：
$$[f(x_{t+1})-f(x^{\ast })]\le [f(x_t)-f(x^{\ast })]-\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})\frac{[f(x_t)-f(x^{\ast }){]}^2}{||x_t-x^{\ast }|{|}^2}(15)$$

两边同除 $[f(x_{t+1})-f(x^{\ast })][f(x_t)-f(x^{\ast })]$ 得：
$$\frac{1}{f(x_t)-f(x^{\ast })}\le \frac{1}{f(x_{t+1})-f(x^{\ast })}+\frac{\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})}{||x_0-x^{\ast }|{|}^2}\frac{f(x_t)-f(x^{\ast })}{f(x_{t+1})-f(x^{\ast })}(16)$$
由$\frac{f(x_t)-f(x^{\ast })}{f(x_{t+1})-f(x^{\ast })}>1$，并由$||x_0-x^{\ast }|{|}^2>||x_t-x^{\ast }|{|}^2$替换掉 $x_t$ 得：
$$\frac{1}{f(x_t)-f(x^{\ast })}\le \frac{1}{f(x_{t+1})-f(x^{\ast })}+\frac{\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})}{||x_0-x^{\ast }|{|}^2}(17)$$
对（17）从 0 累加到 T-1 得：
$$\frac{1}{f(x_t)-f(x^{\ast })}-\frac{1}{f(x_0)-f(x^{\ast })}\ge \frac{1}{||x_0-x^{\ast }|{|}^2}t\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})(18)$$
左边第二项是正数：
$$\frac{1}{f(x_t)-f(x^{\ast })}\ge \frac{1}{||x_0-x^{\ast }|{|}^2}t\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})$$，即：
$$f(x_t)-f(x^{\ast })\le ||x_0-x^{\ast }|{|}^2\cdot \frac{1}{\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})}\cdot \frac{1}{t}(19-1)$$
如果，每步的 $\eta$ 不同，设为 ${\eta }_t$，这里（19）就变成了：
$$f(x_t)-f(x^{\ast })\le ||x_0-x^{\ast }|{|}^2\cdot \frac{1}{{\sum }_{t=0}^{t=n-1}{\eta }_t(1-\frac{\beta {\eta }_t}{2})}\cdot (19-2)$$
这里，我们需要计算一个级数 ${\sum }_{t=0}^{t=n-1}{\eta }_t(1-\frac{\beta {\eta }_t}{2})$ 的收敛性分析了，而且这个级数越大越好，分析见推论2。

这里，我们使用（19-1），那么我们希望使得（19-1）取最小（损失最小），即 $\eta (1-\frac{\beta \eta }{2})$，取最大值，即 $\eta =\frac{1}{\beta }$ 时，可以使得总体loss最小。

推论1：由（19-2）得：
$$f(x_t)-f(x^{\ast })\le \frac{2\beta ||x_0-x^{\ast }|{|}^2}{t-1}(20)$$
该算法的收敛率为 $\Theta (1/T)$。
推论2：由（19-1），假设 ${\eta }_t$ 满足 ${\sum }_{t=1}^{t=T}{\eta }_t=\infty$，而且 ${\sum }_{t=1}^{t=T}{{\eta }_t}^2=\infty$。那么，梯度下降可以收敛到全局最优点。当级数 ${\eta }_t=1/t$ 时，注意，该级数时发散的（${\sum }_{t=1}^{t=T}1/k=\infty$）！
$$f(x_t)-f(x^{\ast })\le \Theta \left(\frac{1}{\log (t)}\right)||x_0-x^{\ast }|{|}^2(21)$$
可以看出，随着步长 ${\eta }_t$ 减少，我们可以不对 $\beta$ 进行要求，而且 ${\sum }_{t=1}^{t=T}{{\eta }_t}^2=\infty$ 也只是充分不必要的。这里，我们需要 级数 ${\sum }_{t=0}^{t=n-1}{\eta }_t(1-\frac{\beta {\eta }_t}{2})$ 对于 t 是定义良好的。例如：当 ${\eta }_t=1/log(t)$ 时， 可以得到 (by approximating the sum by a Riemannian integral)：

$$\sum _{t=0}^{T-1}{\eta }_t\left(1-\frac{\beta {\eta }_t}{2}\right)\sim \frac{\beta T}{2\log (T)}(22)$$
由（19-2），得到：
$$f(x_n)-f(x^{\ast })⪯\frac{2\log (n)||x_0-x^{\ast }|{|}^2}{\beta n}(23)$$
这样，就产生了 $log(T)$ 的收敛率，而不是 $1/T$，如下图：

总步数

这里，我们假设优化算法从 $x_0$ 开始，而且损失依赖于初始点和最优点之间的距离，假设两点之间的距离半径为 $R$。当 $\eta =1/\beta$ 时，将得到：
$$\begin{array}{rcl}f(x_n)-f(x^{\ast })& \le & \frac{2\beta R^2}{(n-1)}\le ϵ\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}ϵ& \ge & \frac{2\beta R^2}{(n-1)}\\ n-1& \ge & \frac{2\beta R^2}{}\\ n& \ge & \frac{2\beta R^2}{ϵ}\end{array}(24)$$

（24）表明最小步长为 $\frac{2\beta R^2}{ϵ}$ ，而该结果的收敛性直接依赖 Lipschiz 常数 $\beta$、据初始点的距离和容忍集是否可逆。
注意：

• Lipschiz 连续一般都假设在 凸优化的基础上。
• $\beta -$光滑，凸都不能单独保证有好的收敛率，而 $\alpha -$强凸则可以保证有较快的收敛率。
• 梯度下降算法和数据的维度有线性关系。

$\alpha -$强凸

最优值

引理1：如果 f 即是 $\beta -$光滑 又是 $\alpha -$强凸. 对于 $\forall x,y\in {\mathbb{R}}^n$，
$$\begin{array}{r}(\nabla f(x)-\nabla f(y){)}^T\ge \frac{\alpha \beta ||x-y|{|}^2}{\alpha +\beta }+\frac{||\nabla f(x)-\nabla f(y)|{|}^2}{\alpha +\beta }.\end{array}(25)$$
定理1：假设 $f$ 是 $\beta$-光滑和$\alpha$-强凸函数。 那么，GD的步长 ${\eta }_t\le 2/(\alpha +\beta )$ 满足：
$$f\left(x_t\right)-p^{\ast }\le \frac{\beta }{2}\prod _{t=1}^T\left(1-\frac{2{\eta }_t\alpha \beta }{\alpha +\beta }\right)\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2(26)$$

证明：将公式梯度下降公式（5）代入 $\beta$-光滑的性质（1）（参考这里）式 $|f(x)-f(y)-\nabla f(y{)}^T(x-y)|\le \frac{\beta }{2}||x-y|{|}^2$ 的条件中，得：

$$f\left(x_k\right)\le f\left(x^{\ast }\right)+\nabla f{\left(x^{\ast }\right)}^T\left(x_k-x^{\ast }\right)+\frac{\beta }{2}\Vert x_k-x^{\ast }{\Vert }^2(27)$$
根据最优点的梯度 $\nabla f(x^{\ast })=0$，则(27) 得：
$$f\left(x_k\right)-f\left(x^{\ast }\right)\le \frac{\beta }{2}\Vert x_k-x^{\ast }{\Vert }^2(28)$$
$\Vert x_{t+1}-x^{\ast }{\Vert }^2$ 服从等式（8），即:
$$\begin{array}{r}\Vert x_{t+1}-x^{\ast }{\Vert }^2=\Vert x_t-x^{\ast }{\Vert }^2+{\eta }_t^2\Vert \nabla f\left(x_t\right){\Vert }^2-2{\eta }_t\nabla f{\left(x_t\right)}^T\left(x_t-x\ast \right)\end{array}(8-2)$$

使用引理等式（25）和 $\nabla f(x^{\ast })=0$ 得：
$$\Vert x_{t+1}-x^{\ast }{\Vert }^2\le \Vert x_t-x^{\ast }{\Vert }^2+{\eta }_t^2\Vert \nabla f\left(x_t\right){\Vert }^2-2{\eta }_t\left(\frac{\alpha \beta }{\alpha +\beta }\Vert x_t-x^{\ast }{\Vert }^2+\frac{\Vert \nabla f\left(x_t\right){\Vert }^2}{\alpha +\beta }\right)(29)$$
化简得：
$$\begin{array}{rc}\Vert x_{t+1}-x^{\ast }{\Vert }^2\le & \left(1-2{\eta }_t\frac{\alpha \beta }{\alpha +\beta }\right)\Vert x_t-x^{\ast }{\Vert }^2+{\eta }_t\left({\eta }_t-\frac{2}{\alpha +\beta }\right)\Vert \nabla f\left(x_t\right){\Vert }^2\end{array}(30)$$
因为 ${\eta }_t<\frac{2}{\alpha +\beta }$，将右手边（RHS）得最后一项忽略，可以得到：
$$\Vert x_{t+1}-x^{\ast }{\Vert }^2\le \left(1-2{\eta }_t\frac{\alpha \beta }{\alpha +\beta }\right)\Vert x_t-x^{\ast }{\Vert }^2(31)$$
对 $t$ 进行迭代，得：
$$\Vert x_t-x^{\ast }{\Vert }^2\le \Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2\prod _{t=1}^T\left(1-\frac{2{\eta }_t\alpha \beta }{\alpha +\beta }\right)(32)$$
将式（32）代入 $\beta -$ 光滑条件 (28)，可得式（26），定理得证。

收敛率

根据 $(1-x)\le \exp (-x)$，定理1 可以改写为下式：
$$f\left(x_k\right)-p^{\ast }\le \frac{\beta }{2}\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2{e}^{-\frac{2\alpha \beta }{\alpha +\beta }{\sum }_{t=1}^T{\eta }_t}(33)$$

引理2：如果GD算法得步长为 $\eta =\frac{2}{\alpha +\beta }$ ，在$\beta -$光滑 又是 $\alpha -$强凸条件下，满足：
$$\begin{array}{rc}f\left(x_t\right)-p^{\ast }& \le \frac{\beta }{2}{\left(\frac{Q_f-1}{Q_f+1}\right)}^{2t}\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2\\ & \le \frac{\beta }{2}\exp \left(-\frac{4t}{Q_f+1}\right)\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2\end{array}(34)$$
这里，$Q_f=\frac{\beta }{\alpha }$ 为条件数。
证明：将 $\eta =\frac{2}{\alpha +\beta }$ 代入定理1，式（26），得：
$$\begin{array}{rc}f\left(x_t\right)-p^{\ast }& \le \frac{\beta }{2}{\prod }_{t=1}^T\left(1-\frac{2{\eta }_t\alpha \beta }{\alpha +\beta }\right)\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2\\ & =\frac{\beta }{2}{\left(1-\frac{2}{Q_f+1}\right)}^{2t}\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2\\ & \le \frac{\beta }{2}\exp \left(\frac{-4t}{Q_f+1}\right)\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2\end{array}(35)$$

得证。引理2说明在强凸和固定步长下，GD可以取得指数级得收敛率。但在凸分析中，$\exp (-x)$是线性收敛率（linear convergence），$\exp (\exp (-x))$ 是二次收敛率（quadratic convergence）。可以看出，收敛率取决于条件数 $Q_f=\frac{\beta }{\alpha }$：大的条件数有小的收敛率。

逐步缩小步长
引理3：${\eta }_t<c/t$，其他条件不变，得：
$$f(x_t)-p^{\ast }\le \frac{\beta }{2t^{\frac{2c\alpha \beta }{\alpha +\beta }}}\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2(36)$$
证明：将 代入式（33），根据 ${\sum }_{t=1}^{T}1/t\sim \log (t)$，可得：

$$f\left(x_t\right)-p^{\ast }\le \frac{\beta }{2}\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2{e}^{-\frac{2c\alpha \beta }{\alpha +\beta }\log (t)}(37)$$
由（37）可得（36）。
该引理说明，随着 $c$ 的增加，GDA可以取得多项式的收敛率。但对于太大的 $c$，在初始阶段可能违反 ${\eta }_t<\frac{2}{\alpha +\beta }$。尽管算法在初始阶段可能会变慢，但对于大的$t$，收敛率仍然可以由引理（3）给出：$\frac{c}{k}<2/(\alpha +\beta )$。

• 当目标函数是强凸函数时，梯度下降法的收敛速率是线性的;当目标函数是凸函数时，其收敛速率是次线性的 。 也就是说，强凸性质会大大提高梯度下降法的收敛速率 。 进一步地，强凸性质越好(即 $\alpha$ 越大) ，条件数 $Q$ 越小，收敛越快 。
• 光滑性质在凸和强凸两种情形下都会加快梯度下降法的收敛速率，即 $\beta$ 越小(强凸情形下，条件数 $Q$ 越小 ) ，收敛越快。

这里，只分析了 GD 的收敛性，并没有分析在仅仅 Lipschitz 连续 (非凸) 下的情况，需要将梯度下降等式（5）代入 Lipschitz 连续的条件，然后逐项相加，分析T步的收敛情况，得到关于步长 ${\eta }_t$ 的级数，通过对该级数分析，就可以得到其最好最坏的收敛率，这种情况下的收敛率大概是次线性的（subliner convergence）。

其实，收敛率是由 $f$ 决定的，但对 ${\eta }_t$ 级数的设计和修改可以加快收敛速度。

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参考自这里。