一种基于整数指令的小数进制转换算法（附mips源码）

问题的提出

我的计组课设 - “浮点数的表示和计算”需要假设没有浮点表示和计算的硬件，用软件方法采用仿真方式实现IEEE 754单精度浮点数的表示及运算功能，其中关于二进制转十进制小数的部分比较困难， 查询资料也无果，于是我提出了这个算法，它的特点在于:

• 不使用浮点指令
• 算法中的所有变量都只能存储于32位的寄存器中
• 每读取一位小数,就将这位小数的信息表达到结果中,避免内存消耗

算法思路

这个算法基于上面特点中的第三条,即:每读取一位小数,就将这位小数的信息表达到结果中,结果寄存器一直表示在当前已知的部分小数位的情景下,对二进制小数的最大值的最大似然估计

1. 当没读取小数时,结果寄存器为0 (即估计值为$2^{32}$)
2. 当读取了第一位小数(十分位),比如7,则坍缩一部分可能性,结果寄存器减去$\frac{2^{32}}{10}\times (9-7)$(即:已知十分位是7后,对最大值的估计值为0.79999…->0.8)
3. 继续读入后面的小数位,并继续调整估计值直至最后一位,比如7,这时寄存器应该减去$\frac{2^{32}}{10^n}\times (10-7)$(即:已知最后一位是7后,对最大值的估计值为0.7…3)

算法伪代码

小数转换{
   初始化结果寄存器为2^32
   初始化下一位位权为2^32//10
   
   开始循环{
      读入一位数x,若无法读入则退出循环
      将结果减去 (9-x)*位权
      更新位权(整除10)
   }
   将结果删除一个满位权
}

算法误差分析

算法丢失精度主要发生在更新位权的时候,为了进一步提升精度,可以先计算乘法,后整除位权.但由于这时的第一位位权会超限,则将第一个抽出来单独以低精度方式运行,python写出来是这样的(为了测试批量测试误差):

def dec_to_bin(x):
    x = str(int(x * 10 ** 20)).zfill(20)  # 用于模拟小数的前20位读入
    res = 2 ** 32
    base = 2 ** 32 // 10

    res -= base * (9 - int(x[0]))

    for i in x[1:]:
        res -= base * (9 - int(i)) // 10
        base //= 10

    res -= base
    return res

以下为误差测试的源码,使用numpy产生1000000个浮点数并计算误差:

import numpy as np


# 无误差的将二进值结果转换回十进制,以计算误差
def bin_to_dec(bin_res):
    dec_res = 0
    r_base = 1
    for i in bin(bin_res).split("b")[1].zfill(32):
        r_base /= 2
        dec_res += int(i) * r_base
    return dec_res


y_true = np.random.random(1000000)
x_test = y_true.tolist()

y_test_bin = [dec_to_bin(i) for i in x_test]
y_test_dec = np.array([bin_to_dec(i) for i in y_test_bin])

print("平均误差:{}\n".format(np.abs(y_true - y_test_dec).mean()))
print("平均相对误差:{}".format((np.abs(y_true - y_test_dec) / test_y_true).mean()))

# 平均误差:2.1892651971158193e-09
# 平均相对误差:3.286203933410582e-08

MIPS代码

scanf_float_dec: # func (get:None)-(t1:float_dec_part)
    li   $t3, '\n'
    li   $t4, 429496729
    li   $t5, 57

    # get a char
    li   $v0, 12
    syscall

    # res($t1) -= base($t4) * (9 - char($v0))
    sub  $v0, $t5, $v0
    mult $t4, $v0
    mflo $v0
    sub  $t1, $t1, $v0

    # Update the estimate value accroding to https://blog.loopy.tech/2019/11/29/dec_to_bin/
    dec_char_update_res: # loop (for all char in dec_part[1:-1])
        # get a char
        li   $v0, 12
        syscall

        # break if get '\n'
        beq  $v0, $t3, dec_char_fix_last
        
        # res($t1) -= base($t4) * (9 - char($v0)) // 10
        sub  $v0, $t5, $v0
        mult $t4, $v0
        mflo $v0
        divu $v0, $t2
        mflo $v0
        sub  $t1, $t1, $v0

        # base($t4) //= 10
        divu $t4, $t2
        mflo $t4
        j dec_char_update_res

    dec_char_fix_last: # not a loop or func
        # res($t1) -= base($t4)
        subu $t1, $t1, $t4
    jr   $ra

这个算法在整个流程里的位置