《计算机视觉》习题解答（一）第2章

习题解答

$答案仅供参考$

2.1

$统计一周的下雨量，x的值为周一到周日，y的值为降雨量$

2.2

$仅考虑变量w和y$
$$\begin{array}{rl}Pr(v,w,x,y,z)& =Pr(v,x,z,w|y)Pr(y)\\ & =Pr(v,x,z|w,y)Pr(w|y)Pr(y)\\ & =Pr(v,x,z|w,y)Pr(w,y)\end{array}$$
$整理得到$
$$Pr(w,y)=\frac{Pr(v,w,x,y,z)}{Pr(v,x,z|w,y)}$$
$同理可得$
$$Pr(v)=\frac{Pr(v,w,x,y,z)}{Pr(w,x,y,z|v)}$$

2.3

$$\begin{array}{rl}Pr(w,x,y,z)& =Pr(z|w,x,y)Pr(w,x,y)\\ & =Pr(z|w,x,y)Pr(w|x,y)Pr(x,y)\end{array}$$
$得证$

2.4

$$\begin{array}{rl}Pr(c=2|h=1)& =\frac{Pr(h=1,c=2)}{Pr(h=1)}\\ & =\frac{Pr(h=1,c=2)}{Pr(h=1,c=1)+Pr(h=1,c=2)}\\ & =\frac{Pr(h=1|c=2)Pr(c=2)}{Pr(h=1,c=1)Pr(c=1)+Pr(h=1|c=2)Pr(c=2)}\\ & =\frac{0.5\times 0.8}{0.5\times 0.5+0.5\times 0.8}\\ & =\frac{8}{13}\end{array}$$

2.5

$$\begin{gathered} y和z不相互独立。考虑任意一个概率分布Pr(y,z)并且y和z不独立， \\ 那么我们可以找到一个概率分布Pr(x)，它并没有提供关于y和z的任何信息 \\ 即x和y相互独立且x和z相互独立 \end{gathered}$$

2.6

$$\begin{array}{rl}Pr(x|y=y^{\ast })& =\frac{Pr(x,y=y^{\ast })}{Pr(y=y^{\ast })}\\ & =\frac{Pr(x)Pr(y=y^{\ast })}{Pr(y=y^{\ast })}(因为x和y相互独立)\\ & =Pr(x)\end{array}$$
得证

2.7

$（这道题不太懂，给定的条件不是已经证明了独立性了吗？）$
$$\begin{array}{rl}Pr(w,x,y,z)& =Pr(w)Pr(z|y)Pr(y|x,w)Pr(x)\\ & =Pr(z|y)Pr(y|x,w)Pr(x,w)（代入Pr(x,w)=Pr(x)Pr(w)）\\ & =Pr(z|y)Pr(x,y,w)\\ 又有Pr(w,x,y,z)& =Pr(z|x,y,w)Pr(x,y,w)\end{array}$$
$所以，Pr(z|y)=Pr(z|x,y,w)，又$
$$\begin{array}{rl}Pr(w,x,y,z)& =Pr(z|x,y,w)Pr(y|x,w)Pr(x|w)Pr(w)\\ & =Pr(z|y)Pr(y|x,w)Pr(x|w)Pr(w)\\ & \\ Pr(w,x,y,z)& =Pr(w)Pr(z|y)Pr(y|x,w)Pr(x)\end{array}$$
$对比两式，可以得到Pr(x|w)=Pr(x)，同理可得Pr(w|x)=Pr(w)$

$所以，x和w相互独立$

2.8

$（为啥概率总和不为1）$

$设第一次骰子朝上的值为\mathbf{X}，第二次为\mathbf{Y}$
$$\begin{array}{rl}E[\mathbf{X}]=& 1\times 1/12+2\times 1/12+3\times 1/12\\ & +4\times 1/12+5\times 1/6+6\times 1/12\\ =& 13/6\end{array}$$
$计算两次投掷可以列表计算$
$$\begin{array}{rl}E[\mathbf{X}+\mathbf{Y}]=& 2\times 1/144+3\times 2/144+4\times 3/144\\ & +5\times 4/144+6\times 7/144+7\times 8/144\\ & +8\times 7/144+9\times 6/144+10\times 6/144\\ & +11\times 4/144+12\times 1/144\\ =& 91/36\end{array}$$

2.9

$首先我们假定随机变量x为连续值$
$$\begin{array}{rl}E[k]& =\int kPr(x)\text{d}x\\ & =k\int Pr(x)\text{d}x\\ & =k\end{array}$$
$性质1得证$
$$\begin{array}{rl}E[kf[x]]& =\int kf[x]Pr(x)\text{d}x\\ & =k\int f[x]Pr(x)\text{d}x\\ & =kE[f[x]]\end{array}$$
$性质2得证$
$$\begin{array}{rl}E[f[x]+g[x]]& =\int (f[x]+g[x])Pr(x)\text{d}x\\ & =\int f[x]Pr(x)\text{d}x+\int g[x]Pr(x)\text{d}x\\ & =E[f[x]]+E[g[x]]\end{array}$$
$性质3得证$
$$\begin{array}{rl}E[f[x]g[y]]& =\iint f[x]g[y]Pr(x,y)\text{d}x\text{d}y\\ & =\iint f[x]g[y]Pr(x)Pr(y)\text{d}x\text{d}y\\ & =\iint f[x]Pr(x)\text{d}x\cdot g[y]Pr(y)\text{d}y\\ & =\int f[x]Pr(x)\text{d}x\int g[y]Pr(y)\text{d}y\\ & =E[f[x]]E[g[y]]\end{array}$$
$性质4得证$

2.10

$$\begin{array}{rl}E[(x-\mu {)}^2]& =E[x^2-2\mu x+{\mu }^2]\\ & =E[x^2]+E[-2\mu x]+E[{\mu }^2]\\ & =E[x^2]-2\mu E[x]+{\mu }^2\\ & =E[x^2]-2E[x]E[x]+E[x]E[x]\\ & =E[x^2]-E[x]E[x]\end{array}$$