《计算机视觉》习题解答(一)第2章

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    • 习题解答
        • 2.1
        • 2.2
        • 2.3
        • 2.4
        • 2.5
        • 2.6
        • 2.7
        • 2.8
        • 2.9
        • 2.10

习题解答

答 案 仅 供 参 考 \color{red}{答案仅供参考}

2.1

统 计 一 周 的 下 雨 量 , x   的 值 为 周 一 到 周 日 , y   的 值 为 降 雨 量 统计一周的下雨量,x\ 的值为周一到周日,y\ 的值为降雨量 x y 

2.2

仅 考 虑 变 量   w   和   y 仅考虑变量\ w\ 和\ y  w  y
P r ( v , w , x , y , z ) = P r ( v , x , z , w ∣ y ) P r ( y ) = P r ( v , x , z ∣ w , y ) P r ( w ∣ y ) P r ( y ) = P r ( v , x , z ∣ w , y ) P r ( w , y ) \begin{aligned} Pr(v,w,x,y,z) & =Pr(v,x,z,w|y)Pr(y) \\ & = Pr(v,x,z|w,y)Pr(w|y)Pr(y) \\ & =Pr(v,x,z|w,y)Pr(w,y) \\ \end{aligned} Pr(v,w,x,y,z)=Pr(v,x,z,wy)Pr(y)=Pr(v,x,zw,y)Pr(wy)Pr(y)=Pr(v,x,zw,y)Pr(w,y)
整 理 得 到 整理得到
P r ( w , y ) = P r ( v , w , x , y , z ) P r ( v , x , z ∣ w , y ) Pr(w,y)=\frac{Pr(v,w,x,y,z)}{Pr(v,x,z|w,y)} Pr(w,y)=Pr(v,x,zw,y)Pr(v,w,x,y,z)
同 理 可 得 同理可得
P r ( v ) = P r ( v , w , x , y , z ) P r ( w , x , y , z ∣ v ) Pr(v)=\frac{Pr(v,w,x,y,z)}{Pr(w,x,y,z|v)} Pr(v)=Pr(w,x,y,zv)Pr(v,w,x,y,z)

2.3

P r ( w , x , y , z ) = P r ( z ∣ w , x , y ) P r ( w , x , y ) = P r ( z ∣ w , x , y ) P r ( w ∣ x , y ) P r ( x , y ) \begin{aligned} Pr(w,x,y,z) & =Pr(z|w,x,y) Pr(w,x,y) \\ & =Pr(z|w,x,y)Pr(w|x,y)Pr(x,y) \end{aligned} Pr(w,x,y,z)=Pr(zw,x,y)Pr(w,x,y)=Pr(zw,x,y)Pr(wx,y)Pr(x,y)
得 证 得证

2.4

P r ( c = 2 ∣ h = 1 ) = P r ( h = 1 , c = 2 ) P r ( h = 1 ) = P r ( h = 1 , c = 2 ) P r ( h = 1 , c = 1 ) + P r ( h = 1 , c = 2 ) = P r ( h = 1 ∣ c = 2 ) P r ( c = 2 ) P r ( h = 1 , c = 1 ) P r ( c = 1 ) + P r ( h = 1 ∣ c = 2 ) P r ( c = 2 ) = 0.5 × 0.8 0.5 × 0.5 + 0.5 × 0.8 = 8 13 \begin{aligned} Pr(c=2|h=1) & =\frac{Pr(h=1,c=2)}{Pr(h=1)} \\ & =\frac{Pr(h=1,c=2)}{Pr(h=1,c=1)+Pr(h=1,c=2)} \\ & =\frac{Pr(h=1|c=2)Pr(c=2)}{Pr(h=1,c=1)Pr(c=1)+Pr(h=1|c=2)Pr(c=2)} \\ & =\frac{0.5\times0.8}{0.5\times0.5+0.5\times0.8} \\ & =\frac{8}{13} \end{aligned} Pr(c=2h=1)=Pr(h=1)Pr(h=1,c=2)=Pr(h=1,c=1)+Pr(h=1,c=2)Pr(h=1,c=2)=Pr(h=1,c=1)Pr(c=1)+Pr(h=1c=2)Pr(c=2)Pr(h=1c=2)Pr(c=2)=0.5×0.5+0.5×0.80.5×0.8=138

2.5

y   和   z   不 相 互 独 立 。 考 虑 任 意 一 个 概 率 分 布 P r ( y , z ) 并 且   y   和   z   不 独 立 , 那 么 我 们 可 以 找 到 一 个 概 率 分 布 P r ( x ) , 它 并 没 有 提 供 关 于   y   和   z   的 任 何 信 息 即   x   和   y   相 互 独 立 且   x   和   z   相 互 独 立 y\ 和\ z\ 不相互独立。考虑任意一个概率分布Pr(y,z)并且\ y\ 和\ z\ 不独立,\\那么我们可以找到一个概率分布Pr(x),它并没有提供关于\ y\ 和\ z\ 的任何信息\\ 即\ x\ 和\ y\ 相互独立且\ x\ 和\ z\ 相互独立 y  z Pr(y,z) y  z Pr(x) y  z  x  y  x  z 

2.6

P r ( x ∣ y = y ∗ ) = P r ( x , y = y ∗ ) P r ( y = y ∗ ) = P r ( x ) P r ( y = y ∗ ) P r ( y = y ∗ ) ( 因 为 x 和 y 相 互 独 立 ) = P r ( x ) \begin{aligned} Pr(x|y=y^*) & =\frac{Pr(x,y=y^*)}{Pr(y=y^*)} \\ & =\frac{Pr(x)Pr(y=y^*)}{Pr(y=y^*)} (因为x和y相互独立)\\ & =Pr(x) \end{aligned} Pr(xy=y)=Pr(y=y)Pr(x,y=y)=Pr(y=y)Pr(x)Pr(y=y)(xy)=Pr(x)
得证

2.7

( 这 道 题 不 太 懂 , 给 定 的 条 件 不 是 已 经 证 明 了 独 立 性 了 吗 ? ) (这道题不太懂,给定的条件不是已经证明了独立性了吗?)
P r ( w , x , y , z ) = P r ( w ) P r ( z ∣ y ) P r ( y ∣ x , w ) P r ( x ) = P r ( z ∣ y ) P r ( y ∣ x , w ) P r ( x , w ) ( 代 入 P r ( x , w ) = P r ( x ) P r ( w ) ) = P r ( z ∣ y ) P r ( x , y , w ) 又 有    P r ( w , x , y , z ) = P r ( z ∣ x , y , w ) P r ( x , y , w ) \begin{aligned} Pr(w,x,y,z) & =Pr(w)Pr(z|y)Pr(y|x,w)Pr(x) \\ & =Pr(z|y)Pr(y|x,w)Pr(x,w)(代入Pr(x,w)=Pr(x)Pr(w))\\ & =Pr(z|y)Pr(x,y,w) \\ 又有\;Pr(w,x,y,z) &=Pr(z|x,y,w)Pr(x,y,w) \end{aligned} Pr(w,x,y,z)Pr(w,x,y,z)=Pr(w)Pr(zy)Pr(yx,w)Pr(x)=Pr(zy)Pr(yx,w)Pr(x,w)Pr(x,w)=Pr(x)Pr(w)=Pr(zy)Pr(x,y,w)=Pr(zx,y,w)Pr(x,y,w)
所 以 , P r ( z ∣ y ) = P r ( z ∣ x , y , w ) , 又 所以,Pr(z|y)=Pr(z|x,y,w),又 Pr(zy)=Pr(zx,y,w)
P r ( w , x , y , z ) = P r ( z ∣ x , y , w ) P r ( y ∣ x , w ) P r ( x ∣ w ) P r ( w ) = P r ( z ∣ y ) P r ( y ∣ x , w ) P r ( x ∣ w ) P r ( w )    P r ( w , x , y , z ) = P r ( w ) P r ( z ∣ y ) P r ( y ∣ x , w ) P r ( x ) \begin{aligned} Pr(w,x,y,z) & =Pr(z|x,y,w)Pr(y|x,w)Pr(x|w)Pr(w) \\ & =Pr(z|y)Pr(y|x,w)Pr(x|w)Pr(w) \\ & \; \\ Pr(w,x,y,z)& =Pr(w)Pr(z|y)Pr(y|x,w)Pr(x) \end{aligned} Pr(w,x,y,z)Pr(w,x,y,z)=Pr(zx,y,w)Pr(yx,w)Pr(xw)Pr(w)=Pr(zy)Pr(yx,w)Pr(xw)Pr(w)=Pr(w)Pr(zy)Pr(yx,w)Pr(x)
对 比 两 式 , 可 以 得 到 P r ( x ∣ w ) = P r ( x ) , 同 理 可 得 P r ( w ∣ x ) = P r ( w ) 对比两式,可以得到Pr(x|w)=Pr(x),同理可得Pr(w|x)=Pr(w) Pr(xw)=Pr(x)Pr(wx)=Pr(w)

所 以 , x 和 w 相 互 独 立 所以,x和w相互独立 xw

2.8

( 为 啥 概 率 总 和 不 为 1 ) (为啥概率总和不为1) 1

设 第 一 次 骰 子 朝 上 的 值 为 X , 第 二 次 为 Y 设第一次骰子朝上的值为\bm X,第二次为\bm Y XY
E [ X ] = 1 × 1 / 12 + 2 × 1 / 12 + 3 × 1 / 12 + 4 × 1 / 12 + 5 × 1 / 6 + 6 × 1 / 12 = 13 / 6 \begin{aligned} E[\bm X] =&1\times 1/12+2\times 1/12+3\times 1/12 \\ &+4\times 1/12+5\times 1/6+6\times 1/12 \\ =&13/6 \end{aligned} E[X]==1×1/12+2×1/12+3×1/12+4×1/12+5×1/6+6×1/1213/6
计 算 两 次 投 掷 可 以 列 表 计 算 计算两次投掷可以列表计算
E [ X + Y ] = 2 × 1 / 144 + 3 × 2 / 144 + 4 × 3 / 144 + 5 × 4 / 144 + 6 × 7 / 144 + 7 × 8 / 144 + 8 × 7 / 144 + 9 × 6 / 144 + 10 × 6 / 144 + 11 × 4 / 144 + 12 × 1 / 144 = 91 / 36 \begin{aligned} E[\bm X+\bm Y] =& 2\times 1/144+3\times 2/144+4\times 3/144 \\ &+5\times 4/144+6\times 7/144+7\times 8/144 \\ & +8\times 7/144+9\times 6/144+10\times 6/144 \\ & +11\times 4/144+12\times 1/144\\ =&91/36 \end{aligned} E[X+Y]==2×1/144+3×2/144+4×3/144+5×4/144+6×7/144+7×8/144+8×7/144+9×6/144+10×6/144+11×4/144+12×1/14491/36

2.9

首 先 我 们 假 定 随 机 变 量 x 为 连 续 值 首先我们假定随机变量x为连续值 x
E [ k ] = ∫ k P r ( x ) d x = k ∫ P r ( x ) d x = k \begin{aligned} E[k] & =\int kPr(x)\text dx \\ & =k\int Pr(x)\text dx \\ & =k \end{aligned} E[k]=kPr(x)dx=kPr(x)dx=k
性 质 1 得 证 性质1得证 1
E [ k f [ x ] ] = ∫ k f [ x ] P r ( x ) d x = k ∫ f [ x ] P r ( x ) d x = k E [ f [ x ] ] \begin{aligned} E[kf[x]] & =\int kf[x]Pr(x)\text dx \\ & =k\int f[x]Pr(x)\text dx \\ & =kE[f[x]] \end{aligned} E[kf[x]]=kf[x]Pr(x)dx=kf[x]Pr(x)dx=kE[f[x]]
性 质 2 得 证 性质2得证 2
E [ f [ x ] + g [ x ] ] = ∫ ( f [ x ] + g [ x ] ) P r ( x ) d x = ∫ f [ x ] P r ( x ) d x + ∫ g [ x ] P r ( x ) d x = E [ f [ x ] ] + E [ g [ x ] ] \begin{aligned} E[f[x]+g[x]] & =\int (f[x]+g[x])Pr(x)\text dx \\ & =\int f[x]Pr(x)\text dx +\int g[x]Pr(x)\text dx \\ & =E[f[x]]+E[g[x]] \end{aligned} E[f[x]+g[x]]=(f[x]+g[x])Pr(x)dx=f[x]Pr(x)dx+g[x]Pr(x)dx=E[f[x]]+E[g[x]]
性 质 3 得 证 性质3得证 3
E [ f [ x ] g [ y ] ] = ∬ f [ x ] g [ y ] P r ( x , y ) d x d y = ∬ f [ x ] g [ y ] P r ( x ) P r ( y ) d x d y = ∬ f [ x ] P r ( x ) d x ⋅ g [ y ] P r ( y ) d y = ∫ f [ x ] P r ( x ) d x ∫ g [ y ] P r ( y ) d y = E [ f [ x ] ] E [ g [ y ] ] \begin{aligned} E[f[x]g[y]] & =\iint f[x]g[y]Pr(x,y)\text dx\text dy\\ & =\iint f[x]g[y]Pr(x)Pr(y)\text dx\text dy \\ & =\iint f[x]Pr(x)\text dx \cdot g[y]Pr(y)\text dy\\ & =\int f[x]Pr(x)\text dx \int g[y]Pr(y)\text dy \\ & =E[f[x]]E[g[y]] \end{aligned} E[f[x]g[y]]=f[x]g[y]Pr(x,y)dxdy=f[x]g[y]Pr(x)Pr(y)dxdy=f[x]Pr(x)dxg[y]Pr(y)dy=f[x]Pr(x)dxg[y]Pr(y)dy=E[f[x]]E[g[y]]
性 质 4 得 证 性质4得证 4

2.10

E [ ( x − μ ) 2 ] = E [ x 2 − 2 μ x + μ 2 ] = E [ x 2 ] + E [ − 2 μ x ] + E [ μ 2 ] = E [ x 2 ] − 2 μ E [ x ] + μ 2 = E [ x 2 ] − 2 E [ x ] E [ x ] + E [ x ] E [ x ] = E [ x 2 ] − E [ x ] E [ x ] \begin{aligned} E[(x-\mu)^2] & =E[x^2-2\mu x+\mu^2]\\ & =E[x^2]+E[-2\mu x]+E[\mu^2]\\ & =E[x^2]-2\mu E[x]+\mu^2\\ & =E[x^2]-2E[x]E[x]+E[x]E[x]\\ & =E[x^2]-E[x]E[x] \end{aligned} E[(xμ)2]=E[x22μx+μ2]=E[x2]+E[2μx]+E[μ2]=E[x2]2μE[x]+μ2=E[x2]2E[x]E[x]+E[x]E[x]=E[x2]E[x]E[x]

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