辗转相除法求最大公因数

1、辗转相除法，

又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

以下就是原理啦：假设求x,y的最大公约数，且x>y；

x / y = q...........r , 商为q, 余数为r，由这个式子可以得

x=qy+r;

x-qy=r;            ①

假设最大公约数为z; 那么

x=nz,y=mz, 所以x+-y=nz+-mz;

由①得到z也是r的约数。所以r和y的公约数也是x和y的公约数，接下来就证明为什么这个就是最大的公约数呢，

因为z为最大公约数，所以n和m为互质数，

r=(n-qm)z; 因此证明（n-qm）与m互质便可证明z是x,y和y,r的最大公约数，

反证法证明: 假设（n-qm） 和m的公因数为p;

(n-qm) = ap;

m=bp;

n=ap+qm=ap+qbp=(a+qb)p,则n和m有公因数p,与条件冲突，不成立，所以（n-qm） 和 m互质

证明结束。

用代码实现如下：

int gcd(int a, int b)           //a>b
{
    if(a%b==0)
        return b;
    else
        return(b,a%b);
}

缺点：当数很大时，取模的运算性能低。

2、更相减损术

原理：两个正整数a和b(a>b),他们的最大公约数等于a-b的差值和较小数b的最大公约数。

#include 
#include 

using namespace std;


int gcd(int a, int b)
{
    if(a==b)
        return a;
    if(a>b)
        return gcd(b,a-b);
    else
        return gcd(a,b-a);
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d",gcd(a,b));
    return 0;
}

缺点，减法运算次数大。

3、综合