对非支配遗传算法三的一些理解

之前在寻找求解高维目标优化问题的有效方法的时候，注意到了NSGA-III算法，大多数多目标进化算法在求解目标维数较低的问题时较为有效，当目标数目大于等于3的时候，也就是面对高维目标优化问题，很多方法由于维数增多选择压力下降，效果变得不理想。
NSGA-III的框架基本和NSGA-II相同，同样利用快速非支配排序将种群个体分类进入不同的非支配前沿，不同的是：对于在临界层中的环境选择，NSGA-II的方法是利用拥挤比较操作来选择从而保持多样性，NSGA-III最大的变化就是利用良好分布的参考点来保持种群的多样性。
下面就在阅读论文学习该算法时遇到的一些问题，进行以下的几项总结：
1、参考点的产生
2、标准化目标空间
3、关联操作
4、环境选择

1、参考点的产生

参考点既可以以结构化的方法预定义也可以由使用者提前提供。Deb大神的论文中使用的是Das and Dennis提出的边界交叉构造权重的方法，将参考点放在一个标准化的超平面上。
在目标空间中，一个维度为（M-1）标准单纯形（如3目标的话，那么该单纯形就是个平面），它对所有的目标轴都有相同的倾斜度。如果考虑沿着每个目标方向分为p份，参考点H的总数就可以计算出来。比如在一个三目标（M=3)的问题中，参考点在一个顶点为（1,0,0），（0,1，0）和（0,0,1）的三角形上产生。如果每个目标轴分为4部分（p=4)，那么参考点的个数H=15。计算公式如下：
$H={(}_p^{M+p-1})$
其中M为目标数目，p为每个方向上分割的份数。
但是，该方法有一个严重的缺点，就是分割份数p的大小的会影响中间点产生的情况，而如果想产生中间点，在目标维度较大的情况下，参考点数量则会急剧增加，因此为了避免这种情况，Deb提出采用两层参考点产生方法，增加了内层，这样既能保证中间点的产生也不会使得参考点数目过多。

2、标准化目标空间

也就是种群成员的自适应标准化，在这个过程中较难理解的是极值点是如何得到的，下面简述大体步骤，重点分析极值点的产生。
以最小化为例，首先得到种群St中的所有个体在每一维目标上的最小值，构成当前种群的理想点（z1min，…，zMmin) ，然后将所有个体的目标值，以及理想点以此理想点为参考作转换操作，这时理想点变为原点，个体的目标值为转换后的临时标准化目标值f’i(x)=fi(x)-zimin。然后计算每一维目标轴上的极值点，这M个极值点组成了M-1维的线性超平面，这时可以计算出各个目标方向上的截距。然后利用截距和临时的标准化目标值计算真正的标准化目标值：

其中ai为各维目标方向上的截距。

2.1、下面详叙极值点的产生方法：

用大白话来说：计算每维目标方向（目标函数）上的极值点，就是在该维上目标值很大，在其他维度上很小的点所对应的个体所对应的目标值。
Deb等人在论文中利用将权重向量w作为坐标轴方向的achievement scalarizing function得到极值点：为了计算第i维目标轴上的极值点，需要固定一个目标方向，则该方向向量wi=1，其他方向的权重设为10-6（无限接近0)，则权重向量w = （1，10-6，…)固定了，然后将下面的ASF函数作为目标函数进行最小化求解，得到的就是该目标方向上的极值点，ASF函数：

举个3目标的例子，解释该过程：
我们初始化种群后，会得到很多个体，他们的目标值可能是（1，0.4，0.5），（2，4，0.8），（0.3，0.6，5）等等，如果有一些点如果在某个目标上的值很大，在另外两个目标上的值很小，则这类点更靠近该目标轴，它们就是所谓的极值点，目标就是找到在一个方向上值很大，另外两个目标值很小的点，但是我们可能得到很多这样的点，这样就需要选择其中最小的作为极值点，所以是一个最小化问题。三个目标的问题话可以找到三个这样的极值点。在ASF方程中，固定第一个坐标轴，权重向量w =（1，10e-6, 10e-6）,那么（1，0.4，0.5）/w，这个时候最大的肯定是0.5这个方向，得到值0.5 x 10e6。另外两个点同样计算得到：（2，4，0.8）在ASF后变为0.8 x 10e6，（0.3，0.6，5）在ASF后变为0.6 x 10e6，然后选取这三个值中最小的对应的点作为极值点，可知：0.5 x 10e6是最小的，对应（1，0.4，0.5）是最合适的极值点。
注解：为什么要用ASF函数写作如此形式呢？我理解的是：因为我们得到的极值点是想更靠近该目标方向的坐标轴。

3、关联操作

参考点设置完成后，要进行关联操作，我们要让种群中的个体分别关联到相应的参考点。为了这个目的，我们定义一个参考线，它是原点与参考点在目标空间的连线。有了参考线后，我们计算种群St的每个个体到参考线的垂直距离。然后个体与和它最近的参考线关联起来。

4、环境选择操作

这是从临界层FL中选择k个个体加入到下一父代Pt+1的操作。
在上面的关联操作后，可能会出现以下情况：一：参考点关联一个或多个个体；二：没有一个个体与之关联。
NSGA-III记录了参考点在集合Pt+1=St/FL中所关联的个体数目，将这个小生境计数记为ρj，它是第j个参考点关联的个体数目。
个体保留操作：首先我们选择ρj最小的参考点，如果有多个这样的点，那么随机选择一个即可。如果ρj=0，就表示集合Pt+1=St/FL中没有与之关联的点。那么在FL中会出现以下两种情况：（1）在FL中存在一个或多个个体与之关联，则将离它最近的个体与之关联，并将该个体加入到Pt+1中；（2）在FL中不存在个体与他关联，那么在余下的操作中就不考虑该参考点。如果ρj≥1，表示Pt+1=St/FL中已经有一个个体与该参考点关联，如果FL中有个体与之关联，随机选择一个，将该个体加入到Pt+1中。重复以上操作指导Pt+1的大小等于N。