【恋上数据结构与算法】复杂度、斐波那契数列、LeetCode
复杂度
文章目录
- 复杂度
- 什么是算法
- 如何评判一个算法的好坏
- 大O表示法 Big O
- 对数阶的细节
- 常见的复杂度
- Leetcode
- 斐波那契数列复杂度分析
- 斐波那契数列-递归
- 斐波那契数列-循环
- fib函数的时间复杂度分析
- 多个数据规模的情况
- 算法的优化方向
- 更多知识
记录小码哥的恋上数据结构与算法（第一季) - 复杂度
什么是算法
什么是算法
算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤
eg:解决两数相加的问题
// 计算a和b的和
public static int plue(int a, int b){
return a + b;
}
eg:解决 n个数字的和 的问题
// 计算1+2+3+...+n
public static int sum(int n){
int result = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
result += i;
}
return result;
}
使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大。
比如：求第n个斐波那契数 Fibonacci number
解决了什么问题 比如两数相加问题 、求和问题
能解决问题就是算法呢
解决同一个问题 方法非常多 效率可能相差非常大
如何评判一个算法的好坏
如果单从执行效率上进行评估，可能会想到这么一种方案
- 比较不同算法对同一组输入的执行处理时间
- 这种方案也叫做：事后统计法
事后统计法 写代码去测试 和硬件有关 和输入有关
上述方案有比较明显的缺点：
- 执行时间严重依赖硬件以及运行时各种不确定的环境因素
- 必须编写相应的测算代码
- 测试数据的选择比较难保证公正性
一般从以下维度来评估算法的优劣：
- 正确性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应能力和处理能力）
- 时间复杂度（time complexity） 估算程序指令的执行次数（执行时间）
- 空间复杂度（space complexity）估算所需占用的存储空间
算法首先要保证 正确性、可读性、健壮性 对不合理输入的反应能力和处理能力
时间、空间优化
由于现在硬件发展的较好，一般情况下我们更侧重于时间复杂度。
时间换空间
时空
package cn.liuawen;
public class demo {
// 计算 1+2+3+...+n 的和
public static int sum1(int n) {
int result = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
result += i;
}
return result;
}
// 计算 1+2+3+...+n 的和
public static int sum2(int n) {
return (1 + n) * n / 2;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println("sum1(10):"+sum1(10));
System.out.println("sum2(10):"+sum2(10));
}
}
大O表示法 Big O
一般用大O表示法来描述复杂度 它表示的是数据规模n对应的复杂度
忽略常数、系数、低阶
- 9 >> O(1)
- 2n + 3 >> O(n)
- n2 + 2n + 6 >> O(n2)
- 4n3 + 3n2 + 22n + 100 >> O(n3)
- 写法上，n3 等价于 n^3’
注意：大O表示法仅仅是一种粗略的分析模型 是一种估算 能帮助我们短时间内了解一个算法的执行效率
对数阶的细节
对数阶一般省略底数
- log29 ∗ log9n = og2n
常数忽略掉 log2n/log29 = log9n
所以 O(log2n) 、O(log9n) 统称为 O(logn)
常见的复杂度
logn
可以借助函数生成工具对比复杂度的大小
https://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php
Leetcode
一个用于练习算法的网站 力扣 leetcode
https://leetcode-cn.com/
https://leetcode.com/
目的是练习算法
我们来练习一个道斐波那契数列吧
https://leetcode-cn.com/problems/fibonacci-number/
斐波那契数列复杂度分析
https://leetcode-cn.com/problems/fibonacci-number/
实现
/* 0 1 2 3 4 5
* 0 1 1 2 3 5 8 13 ....
*/
// O(2^n)
public static int fib1(int n) {
if (n <= 1) return n;
return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}
// O(n)
public static int fib2(int n) {
if (n <= 1) return n;
int first = 0;
int second = 1;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
int sum = first + second;
first = second;
second = sum;
}
return second;
}
public static int fib3(int n) {
if (n <= 1) return n;
int first = 0;
int second = 1;
while (n-- > 1) {
second += first;
first = second - first;
}
return second;
}
public static int fib4(int n) {
double c = Math.sqrt(5);
return (int) ((Math.pow((1 + c) / 2, n) - Math.pow((1 - c) / 2, n)) / c);
}
斐波那契数列-递归
// O(2^n)
public static int fib1(int n) {
if (n <= 1) return n;
return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}
复杂度分析：
呈现的是指数级增长的趋势
效率很低很低。
斐波那契数列-循环
不开辟任何空间，只使用循环完成。
// O(n)
public static int fib2(int n) {
if (n <= 1) return n;
int first = 0;
int second = 1;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
int sum = first + second;
first = second;
second = sum;
}
/*
// 也可以使用while循环
while (n-- > 1) {
second += first;
first = second - first;
}
*/
return second;
}
速度变快了，内存消耗还是很多…
开辟新的数组空间，用空间换时间。
public static int fib3(int n){
if(n <= 1) return n;
int[] fib = new int[n+1];
fib[0] = 0;
fib[1] = 1;
for(int i = 2; i < fib.length; i++){
fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
}
return fib[n];
}
fib函数的时间复杂度分析
有时候算法之间的差距，往往比硬件方面的差距还要大
算法之间的差距 比硬件差多了
写代码要考虑 算法
多个数据规模的情况
时间复杂度：O(n + k)
public static void test(int n, int k){
for(int i = 0; i < n; i++){
System.out.println("test");
}
for (int i = 0; i < k; i++){
System.out.println("test");
}
}
算法的优化方向
- 用尽量少的存储空间
- 用尽量少的执行步骤（执行时间）
- 根据情况，可以
- 空间换时间
- 时间换空间
更多知识
更多复杂度相关的知识，会在后续讲解数据结构、算法的过程中穿插
最好、最坏复杂度
均摊复杂度
复杂度震荡
平均复杂度
…